1. Дано: АВ = CD, ∠АВС = 65°, ∠ADC = 45°, ∠АОС = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠С.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. ### Задача 1 **Дано:** $AB = CD$, $\angle ABC = 65^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$, $\angle AOC = 110^\circ$. **Найти:** $\angle C$. **Доказать:** $\triangle ABO = \triangle DCO$. 1. Сначала докажем равенство треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$ (для доказательства $\triangle ABO = \triangle DCO$ в условии опечатка, скорее всего, имелось в виду равенство или подобные свойства, но раз просят доказать равенство): - $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. - $\angle OAB = \angle ODC$ (по сумме углов треугольника, так как $AB=CD$ и углы при них равны). - Однако, судя по условию и рисунку, достаточно заметить, что $\triangle ABO = \triangle DCO$ по стороне ($AB=CD$) и двум прилежащим к ней углам. Угол $\angle AOB = \angle COD = 110^\circ$ (вертикальные). Тогда $\angle ABO = \angle DCO$ и $\angle BAO = \angle CDO$. 2. **Найти $\angle C$**: В $\triangle BCO$ или через сумму углов в четырехугольнике/треугольниках. В $\triangle DOC$: $\angle COD = 110^\circ$, $\angle ODC = \angle OAB$. *Примечание:* Из-за опечатки в условии (сумма углов в треугольнике не может быть $156$ градусов, см. задачу 2), данные задачи могут быть противоречивы. Если нужно найти угол $\angle C$ как $\angle BCD$, то он равен $\angle BCD = \angle BCO + \angle DCO$. ### Задача 2 В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ сумма углов $A$ и $C$ равна $156^\circ$. Найди углы треугольника $ABC$. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. $\angle A = \angle C$. 2. Так как их сумма $156^\circ$, то $\angle A = \angle C = 156^\circ / 2 = 78^\circ$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (78^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$. **Ответ:** $78^\circ, 78^\circ, 24^\circ$. ### Задача 3 Точки $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$. Треугольники $ABC$ и $ADC$ — равнобедренные прямоугольные ($\angle B = \angle D = 90^\circ$). Доказать: $AB \parallel CD$. 1. В $\triangle ABC$ ($\angle B=90^\circ$, равнобедренный) углы при основании $AC$: $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$. 2. В $\triangle ADC$ ($\angle D=90^\circ$, равнобедренный) углы при основании $AC$: $\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ$. 3. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны ($45^\circ = 45^\circ$). Следовательно, $AB \parallel CD$. ### Задача 4 Дано: $\angle DBC = 90^\circ$, $\angle BDC = 60^\circ$, $BD = 4$ см. а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка $BC$? б) Найдите длину медианы $BE$. а) В прямоугольном треугольнике $BCD$ ($\angle B = 90^\circ$): $\tan(\angle BDC) = BC / BD \Rightarrow BC = BD \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 4 \cdot 1,732 = 6,928$ см. Длина $BC$ заключена между $6$ и $7$. б) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе (хотя здесь гипотенуза $DC$), равна её половине. Но $BE$ здесь проведена к $DC$ как медиана. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Найдем $DC$: $\cos(60^\circ) = BD / DC \Rightarrow DC = BD / 0,5 = 4 / 0,5 = 8$ см. Тогда $BE = DC / 2 = 8 / 2 = 4$ см. **Ответ:** а) между 6 и 7; б) 4 см.