153. Решить неравенство: 1) log_sqrt(6)(x-4)+log_sqrt(6)(x+1)<=2;

Давай разберем эти неравенства. Помни: важно всегда учитывать область допустимых значений (ОДЗ) — выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля. ### 1) $\log_{\sqrt{6}}(x-4) + \log_{\sqrt{6}}(x+1) \le 2$ ОДЗ: $x-4 > 0 \implies x > 4$ и $x+1 > 0 \implies x > -1$. Общее ОДЗ: $x > 4$. По свойству логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $\log_{\sqrt{6}}((x-4)(x+1)) \le 2$ $(x-4)(x+1) \le (\sqrt{6})^2$ $x^2 - 3x - 4 \le 6$ $x^2 - 3x - 10 \le 0$ Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ это $5$ и $-2$. Неравенство верно при $x \in [-2; 5]$. С учетом ОДЗ ($x > 4$), получаем ответ: $x \in (4; 5]$. ### 2) $\log_{3\sqrt{2}}(x-5) + \log_{3\sqrt{2}}(x+12) \le 2$ ОДЗ: $x-5 > 0 \implies x > 5$ и $x+12 > 0 \implies x > -12$. Общее ОДЗ: $x > 5$. Складываем логарифмы: $\log_{3\sqrt{2}}((x-5)(x+12)) \le 2$ $(x-5)(x+12) \le (3\sqrt{2})^2$ $x^2 + 7x - 60 \le 18$ $x^2 + 7x - 78 \le 0$ Корни уравнения $x^2 + 7x - 78 = 0$ (через дискриминант $49 + 312 = 361 = 19^2$): $x = (-7 \pm 19)/2$, то есть $6$ и $-13$. Неравенство верно при $x \in [-13; 6]$. С учетом ОДЗ ($x > 5$), получаем ответ: $x \in (5; 6]$. ### 3) $\log_{3}(8x^2+x) > 2 + \log_{3}x^2 + \log_{3}x$ ОДЗ: $8x^2+x > 0$ и $x > 0$ (так как есть $\log_3 x$). Значит, $x > 0$. Преобразуем правую часть: $2 = \log_3 9$. $\log_3(8x^2+x) > \log_3 9 + \log_3 x^2 + \log_3 x$ $\log_3(8x^2+x) > \log_3(9 \cdot x^2 \cdot x) = \log_3(9x^3)$ $8x^2+x > 9x^3$ $9x^3 - 8x^2 - x < 0$ $x(9x^2 - 8x - 1) < 0$ Корни $9x^2 - 8x - 1 = 0$: $D = 64 + 36 = 100 = 10^2$, $x = (8 \pm 10)/18$, то есть $1$ и $-1/9$. Разложение: $x(x-1)(9x+1) < 0$. Метод интервалов для $x \in (0; +\infty)$: $(x-1)$ меняет знак при $1$, $(9x+1)$ положительно. Меньше нуля на $(0; 1)$. Ответ: $x \in (0; 1)$. ### 4) $\log_{2}x + \log_{2}(x-3) > \log_{2}4$ ОДЗ: $x > 0$ и $x-3 > 0 \implies x > 3$. $\log_{2}(x(x-3)) > \log_{2}4$ $x^2 - 3x > 4$ $x^2 - 3x - 4 > 0$ Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ это $4$ и $-1$. Решение неравенства: $x < -1$ или $x > 4$. С учетом ОДЗ ($x > 3$), получаем ответ: $x \in (4; +\infty)$.