Точка O — центр окружности, ∠AOB = 84°. Найдите величину угла ACB (в градусах).

Привет! Давай разберем задания из твоего билета по геометрии. Это классические задачи на свойства вписанных и центральных углов. ### Практические задания **1. Точка O — центр окружности, ∠AOB = 84°. Найдите величину угла ACB.** * Угол ACB — вписанный, а ∠AOB — центральный. Они опираются на одну и ту же дугу AB. * По теореме, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{84^{\circ}}{2} = 42^{\circ}$. * **Ответ: 42°.** **2. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.** * Тут небольшая неточность в условии, скорее всего, просят угол ACB (угол C). Угол ACB — вписанный, опирается на ту же дугу, что и центральный $\angle AOB = 48^{\circ}$. * $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{48^{\circ}}{2} = 24^{\circ}$. * **Ответ: 24°.** **3. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.** * Треугольник AOB — равнобедренный (OA = OB = радиус R). Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = 60^{\circ}$. * Так как сумма углов треугольника $180^{\circ}$, $\angle AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$. * Значит, треугольник AOB равносторонний. Стороны равны хорде AB, то есть $R = AB = 6$. * **Ответ: 6.** **4. Найдите ΔDEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.** * Скорее всего, имеется в виду угол $\angle DEF$ или $\angle DFE$. Если нужно найти вписанный угол $\angle DFE$, опирающийся на дугу DE: $\angle DFE = \frac{1}{2} \text{дуги } DE = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$. * **Ответ: 75°.** **5. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги KM равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°.** * Центральный угол KOM опирается на дугу KM. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. * $\angle KOM = 124^{\circ}$. * **Ответ: 124°.** **6. Величина центрального ∠AOB равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB.** * Аналогично первой задаче: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ}$. * **Ответ: 55°.** **7. На окружности по разные стороны от хорды AB взяты точки M и N. Известно, что ∠MBA = 38°. Найдите угол MNA.** * Углы $\angle MBA$ и $\angle MNA$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу AM. * Следовательно, они равны: $\angle MNA = \angle MBA = 38^{\circ}$. * **Ответ: 38°.** ### Теория 1. **Центральный угол** — это угол с вершиной в центре окружности. 2. **Описанный четырехугольник** — четырехугольник, в который можно вписать окружность (суммы его противоположных сторон равны). 3. Дуга измеряется центральным углом, который на нее опирается. 4. В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.