Билет 5. 1. Определение смежных и вертикальных углов (формулировки).

Давай разберем задачи по очереди. ### Билет 5 1. **Определение смежных и вертикальных углов (формулировки).** - Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна 180°. - Вертикальные углы — это углы, стороны которых являются продолжениями сторон другого угла. Вертикальные углы равны. 2. **Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.** - Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой. 3. **Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найди эти углы.** - Пусть первый угол $x$, тогда второй $x + 50^\circ$. Так как они смежные, их сумма $180^\circ$: $x + (x + 50^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 2x = 130^\circ \Rightarrow x = 65^\circ$. Углы: $65^\circ$ и $115^\circ$. 4. **Биссектрисы, проведенные к боковым сторонам AB и AC равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите угол треугольника, если BMC = 140°.** - В $\triangle BMC$ углы при основании $MBC = MCB = (180^\circ - 140^\circ) / 2 = 20^\circ$. Поскольку это биссектрисы, $\angle B = 40^\circ, \angle C = 40^\circ$. Тогда $\angle A = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$. ### Билет 6 1. **Определения: треугольник, стороны, вершины, углы треугольника. Периметр треугольника.** - Треугольник — фигура из трех точек (вершин), соединенных отрезками (сторонами). Углы лежат между сторонами. Периметр — сумма длин всех сторон. 2. **Аксиома параллельных прямых (доказать следствия из аксиомы параллельных прямых).** - Аксиома: через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. 3. **Внешний угол равнобедренного треугольника равен 50°. Найдите углы треугольника.** - Внешний угол равен $50^\circ$, значит внутренний смежный угол равен $130^\circ$. Это угол при основании. Так как треугольник равнобедренный, второй угол при основании тоже $130^\circ$. Но $130+130 > 180$, значит, $130^\circ$ — это угол при вершине. Тогда углы при основании: $(180^\circ - 130^\circ) / 2 = 25^\circ$. Ответ: $25^\circ, 25^\circ, 130^\circ$. 4. **Угол АОВ равен 120°. Через точки А и В проведены прямые, которые пересекаются в точке С. Найдите угол, который образовался при пересечении этих прямых.** - Уточнение: задача требует чертежа, предположим, что рассматриваются смежные углы к 120°. Ответ: $60^\circ$. ### Билет 7 1. **Определение равнобедренного треугольника. Прямоугольный треугольник. Сформулировать свойства равнобедренного треугольника.** - Равнобедренный: две стороны равны. Прямоугольный: один угол 90°. Свойства: углы при основании равны, биссектриса к основанию — медиана и высота. 2. **Доказать свойства смежных углов (А+В = 180°).** - Смежные углы лежат на одной прямой, образуя развернутый угол, равный $180^\circ$. 3. **Углы треугольника ABC относятся как 2:3:4. Найдите углы этого треугольника.** - $2x + 3x + 4x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ$. Углы: $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$. 4. **В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота, проведенная из вершины А, пересекает прямую ВС в точке F. Найдите длину стороны AC.** - Требуются дополнительные данные (длина боковой стороны) для нахождения точного значения AC. ### Билет 8 1. **Определения: медиана, биссектриса, высота треугольника.** - Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Биссектриса делит угол пополам. Высота — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне. 2. **Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать один по выбору.** - Признаки: 1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по стороне и двум прилежащим углам; 3) по трем сторонам. 3. **Диаметр AB и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла AOD, если BCD = 110°.** - В $\triangle BOC$ (равнобедренный, $OB=OC$): $\angle OBC = \angle OCB = 110^\circ$ — невозможно для треугольника. Вероятно, опечатка в условии. 4. **Докажите, что медиана равнобедренного треугольника, равна основанию, треугольник равносторонний.** - Это свойство равностороннего треугольника.