Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Вариант II. №1. К окружности с центром O проведена касательная AB (A- точка касания). Найдите радиус окружности, если OB=10 см и ∠ABO=30°.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии из варианта II, который виден на фото. ### Задача №1 **Условие:** К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB=10 см и ∠ABO=30°. **Решение:** Радиус OA, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной AB. Значит, треугольник $\triangle OAB$ — прямоугольный с прямым углом $\angle OAB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет OA лежит против угла $30^\circ$ (угол $\angle ABO = 30^\circ$). По свойству катета, лежащего против угла $30^\circ$, он равен половине гипотенузы: $OA = OB / 2 = 10 / 2 = 5$ см. **Ответ:** 5 см. ### Задача №2 **Условие:** На рис. 1 прямая AC касается окружности с центром O в точке A. Найдите ∠BAC, если ∠AOB=108°. **Решение:** Треугольник $\triangle OAB$ — равнобедренный, так как $OA = OB$ (радиусы). Следовательно, углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Найдем их из суммы углов треугольника: $\angle OAB = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$. Прямая AC — касательная, радиус OA перпендикулярен ей. Значит, $\angle OAC = 90^\circ$. Тогда $\angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$. **Ответ:** 54°. ### Задача №3 **Условие:** На рис. 2 прямые AC и AB касаются окружности с центром O в точках C и B. Найдите ∠BAC, если ∠COB = 122°. **Решение:** Радиусы OC и OB перпендикулярны касательным AC и AB соответственно, поэтому $\angle ACO = 90^\circ$ и $\angle ABO = 90^\circ$. В четырехугольнике ABOC сумма всех углов равна $360^\circ$. $\angle BAC = 360^\circ - (\angle ACO + \angle ABO + \angle COB) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 122^\circ) = 360^\circ - 302^\circ = 58^\circ$. **Ответ:** 58°.