9.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один из катетов – 5 см. Найдите наибольший из острых углов данного треугольника.

### Решение задач по геометрии **9. Решение:** В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Здесь $5 = \frac{10}{2}$, значит, против катета $5 \text{ см}$ лежит угол $30^\circ$. Другой острый угол равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Наибольший острый угол — $60^\circ$. **Ответ: 60^\circ.** **10. Решение:** При параллельных прямых накрест лежащие углы равны. Угол 2 является накрест лежащим для угла, смежного с углом 3, или можно рассмотреть треугольник. В данном случае, так как прямые параллельны, угол, накрест лежащий с углом 1, равен $55^\circ$. Угол, смежный с углом 3, равен $180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Но проще заметить, что угол 2 равен углу 3, так как они накрест лежащие при параллельных прямых. **Ответ: 59^\circ.** **11. Решение:** $ \triangle ADC$ — равнобедренный, так как $AD=AC$. Углы при основании равны: $\angle ADC = \angle ACD = (180^\circ - 86^\circ) / 2 = 94^\circ / 2 = 47^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^\circ - 86^\circ - 71^\circ = 23^\circ$. Угол $DCB = \angle ACB - \angle ACD = 71^\circ - 47^\circ = 24^\circ$. **Ответ: 24^\circ.** **12. Решение:** В $\triangle BHC$ (прямоугольный): $BC^2 = BH^2 + HC^2 = BH^2 + 12^2 = BH^2 + 144$. Так как $BM$ — медиана, $M$ делит $AC$ пополам. В $\triangle BHC$ также $BM$ — медиана гипотенузы, но $H$ лежит на $MC$. Пусть $HC=12$. $BC=BM$. В прямоугольном $\triangle BHC$ по теореме Пифагора $BH^2 = BC^2 - 144$. По условию $BC=BM$. В $\triangle BHM$: $HM^2 = BM^2 - BH^2 = BC^2 - (BC^2 - 144) = 144$. То есть $HM = 12$. Так как $BM$ медиана, $AM=MC = AH+HM = AH+12$. $MC = MH+HC = 12+12 = 24$. Тогда $AM = 24$, значит $AH = AM - MH = 24 - 12 = 12$. **Ответ: 12.** **13. Решение:** Пусть углы относятся как $2:5$. Вариант 1: углы $2x, 2x, 5x$. Сумма: $9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ$. Углы: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$. Треугольник тупоугольный, удовлетворяет условию. Вариант 2: углы $2x, 5x, 5x$. Сумма: $12x = 180^\circ \implies x = 15^\circ$. Углы: $30^\circ, 75^\circ, 75^\circ$. Остроугольный, не подходит. **Ответ: 40^\circ, 40^\circ, 100^\circ.**