14.Сократить дробь: 16^(n+1) / (2^(2n+5) * 2^(n-2))

Привет! Давай решим задачи по порядку. ### Модуль «Алгебра» **14. Сократите дробь $\frac{16^{n+1}}{2^{2n+5} \cdot 2^{n-2}}$** Сведем всё к основанию 2: 1) $16^{n+1} = (2^4)^{n+1} = 2^{4n+4}$ 2) Знаменатель: $2^{2n+5} \cdot 2^{n-2} = 2^{2n+5+n-2} = 2^{3n+3}$ 3) Делим: $\frac{2^{4n+4}}{2^{3n+3}} = 2^{(4n+4)-(3n+3)} = 2^{n+1}$. **Ответ: $2^{n+1}$** **15. Задача на сплавы** Масса сплава 36 кг, меди 45% (это $0,45 \cdot 36 = 16,2$ кг). Пусть $x$ — масса добавляемой чистой меди. Тогда масса новой меди $(16,2 + x)$, а общая масса сплава $(36 + x)$. По условию, новая доля меди равна 60% ($0,6$): $\frac{16,2 + x}{36 + x} = 0,6$ $16,2 + x = 0,6(36 + x)$ $16,2 + x = 21,6 + 0,6x$ $0,4x = 5,4$ $x = 13,5$ кг. **Ответ: 13,5 кг.** **16. График функции $y = -4 - \frac{x^4-x^3}{x^2-x}$** Упростим выражение: $\frac{x^4-x^3}{x^2-x} = \frac{x^3(x-1)}{x(x-1)} = x^2$ (при $x \neq 0, x \neq 1$) Значит, $y = -4 - x^2$. График — парабола, ветви вниз, вершина в $(0; -4)$. Точки «выколоты» при $x=0$ ($y=-4$) и $x=1$ ($y=-5$). Прямая $y=m$ имеет одну общую точку с графиком, если: 1) $m = -4$ (вершина, но она «выколота» в точке $x=0$? Нет, значение функции в $0$ не существует по ОДЗ, поэтому горизонталь $y=-4$ не пересекает график). 2) Проходит через «выколотую» точку $(1; -5)$ — $m = -5$. 3) Проходит выше вершины — нет пересечений (там $y < -4$). Значит, только в одной точке пересекается, если $m = -5$ (проходит через выколотую точку) или если $m < -4$ (но здесь везде 2 точки, кроме случая, когда одна попадает в выколотую). Стоп, при $m = -4$ график не существует. При $m = -5$, $x=1$ не входит в ОДЗ, значит, остаётся только одна точка пересечения. **Ответ: $m = -5$.** ### Модуль «Геометрия» **17. Найти AB** В $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Но в условии сказано: высота из прямого угла $C$ к гипотенузе $AC$ — это ошибка в тексте задания (высота падает на гипотенузу, а $AC$ — катет). Вероятно, имелось в виду $AC$ — гипотенуза. По свойству катета: $AC^2 = AB \cdot AH$. Если $AC$ — катет, то $AC^2 = AB \cdot AH \Rightarrow 36^2 = AB \cdot 4 \Rightarrow 1296 = 4 \cdot AB \Rightarrow AB = 324$. **Ответ: 324.** **18. Найти BN** По теореме Фалеса (или подобию треугольников $\triangle MBN \sim \triangle ABC$): $\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \Rightarrow \frac{BN}{BN+NC} = \frac{12}{42}$. $\frac{BN}{BN+25} = \frac{2}{7}$ $7 \cdot BN = 2(BN + 25)$ $7BN = 2BN + 50$ $5BN = 50 \Rightarrow BN = 10$. **Ответ: 10.** **19. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции** Формула длины отрезка между серединами диагоналей трапеции: $\frac{|a - b|}{2}$. $\frac{|34 - 16|}{2} = \frac{18}{2} = 9$. **Ответ: 9.**