Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным 4. Найдите расстояние между прямой $AD$ и прямой $C_1N$, где точка $N$ принадлежит ребру $A_1B_1$.

Для решения задачи введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$: - $A(0, 0, 0)$ - $D(0, 4, 0)$ - $C_1(4, 4, 4)$ - $A_1(0, 0, 4)$ - $B_1(4, 0, 4)$ Точка $N$ лежит на ребре $A_1B_1$. Пусть координаты точки $N$ будут $(x, 0, 4)$, где $0 \le x \le 4$. По условию задачи прямые $AD$ и $C_1N$ скрещивающиеся. Прямая $AD$ лежит на оси $Oy$, её направляющий вектор $\vec{a} = \vec{AD} = (0, 4, 0)$, что можно упростить до $(0, 1, 0)$. Прямая $C_1N$ проходит через точки $C_1(4, 4, 4)$ и $N(x, 0, 4)$. Её направляющий вектор $\vec{b} = \vec{NC_1} = (4-x, 4, 0)$. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $M_1(0, 0, 0)$ (точка $A$) и $M_2(x, 0, 4)$ (точка $N$) с направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|(\vec{M_1M_2}, \vec{a}, \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ Вектор $\vec{M_1M_2} = (x, 0, 4)$. Смешанное произведение $(\vec{M_1M_2}, \vec{a}, \vec{b})$: $\begin{vmatrix} x & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4-x & 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} x & 4 \\ 4-x & 0 \end{vmatrix} = -4(4-x) = 4x - 16$. Векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 4-x & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(0 - 1(4-x)) = (0, 0, x-4)$. Модуль $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (x-4)^2} = |x-4| = 4-x$ (так как $x \le 4$). Тогда расстояние: $d = \frac{|4x-16|}{4-x} = \frac{|-4(4-x)|}{4-x} = \frac{4(4-x)}{4-x} = 4$. Расстояние равно длине ребра куба. **Ответ: 4**