Найдите такие различные цифры X и A, чтобы число XAXAXA делилось на 7 и было как можно большим.

1. Чтобы число XAXAXA было как можно больше, начнем подбор с наибольших цифр для X (9, 8, ...). Число XAXAXA можно представить как: X * 100000 + A * 10000 + X * 1000 + A * 100 + X * 10 + A = 100101 * X + 10101 * A. Число 100101 = 7 * 14300 + 1, значит 100101 дает остаток 1 при делении на 7. Число 10101 = 7 * 1443, значит 10101 делится на 7 без остатка. Получаем: (1 * X + 0 * A) mod 7 = 0, то есть X должно делиться на 7. Максимальная цифра X, делящаяся на 7 — это 7. Тогда число имеет вид 7A7A7A. А может быть любой цифрой, чтобы число было максимально, выбираем A = 9. Проверим: 797979 / 7 = 113997. Делится. Ответ: X=7, A=9. 2. У нас есть 16 шариков трех цветов (синий, красный, зеленый), всего 16 штук. Пусть s — синие, k — красные, z — зеленые. s + k + z = 16. Условие: каждого цвета должно быть не менее четверти от общего количества. 16 / 4 = 4. Значит, каждого цвета должно быть $\ge$ 4. Пусть $s = 4 + x$, $k = 4 + y$, $z = 4 + z_1$, где $x, y, z_1 \ge 0$. Подставим: $(4 + x) + (4 + y) + (4 + z_1) = 16$, значит $x + y + z_1 = 4$. Это задача о разбиении числа 4 на 3 неотрицательных целых слагаемых (где порядок важен). Формула «шаров и перегородок»: $C(n+k-1, k-1) = C(4+3-1, 3-1) = C(6, 2) = 15$. Ответ: 15. 3. Пять равных квадратов соединены сторонами. Периметр прямоугольника, составленного из 5 равных квадратов: если квадраты выстроены в ряд, то $P = 2 * (5a + a) = 12a$. А периметр одного квадрата $4a$. Отношение периметров: $12a / 4a = 3$. Ответ: 3. 4. Допущение: Фигура состоит из двух квадратов $2 \times 2$, соединенных по стороне, образуя прямоугольник $2 \times 4$. Чтобы разделить его на две равные части, можно провести линию: - Вертикально посередине (разрезав прямоугольник $2 \times 4$ на два квадрата $2 \times 2$). - Горизонтально посередине (разрезав прямоугольник $2 \times 4$ на два прямоугольника $1 \times 4$). На рисунке в задании изображена «ступенька» (L-образная фигура). Ее можно разделить, проведя линию по границе клеток так, чтобы получилось две симметричные фигуры, например, отрезав один квадрат.