Две стороны треугольника равны 8 и 5 см, а угол между ними 120°. Найти периметр и площадь

Давай разберем задачи по очереди. ### Задача 1 Дано: стороны $a=8$ см, $b=5$ см, угол между ними $\alpha = 120^\circ$. Найти периметр ($P$) и площадь ($S$). 1. Находим третью сторону $c$ по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(120^\circ) = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot (-0,5) = 64 + 25 + 40 = 129$. $c = \sqrt{129} \approx 11,36$ см. Периметр: $P = a + b + c = 8 + 5 + \sqrt{129} = 13 + \sqrt{129} \approx 24,36$ см. 2. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17,32$ см$^2$. ### Задача 2 В треугольнике $ABC$: $AB=25$, $AC=24$, $BC=7$ см. (Это египетский треугольник, так как $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$, значит $\angle C = 90^\circ$). а) Скалярные произведения: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\angle A) = 25 \cdot 24 \cdot \frac{24}{25} = 576$. $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |BA| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle B) = 25 \cdot 7 \cdot \frac{7}{25} = 49$. $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$ (так как векторы перпендикулярны, $\angle C = 90^\circ$). б) Радиус описанной окружности $R$ прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = 25 / 2 = 12,5$. Длина $L = 2\pi R = 25\pi$. в) Радиус вписанной окружности $r = (a + b - c) / 2 = (7 + 24 - 25) / 2 = 3$. ### Задача 3 Площадь квадрата ($S_4$) вписанного в окружность равна 16 см$^2$. 1. Сторона квадрата $a = \sqrt{16} = 4$. Диагональ квадрата $d = 4\sqrt{2}$. 2. Диаметр окружности равен диагонали квадрата: $D = 4\sqrt{2}$, радиус $R = 2\sqrt{2}$. 3. Для описанного правильного треугольника сторона $a_3 = 2R\sqrt{3} = 4\sqrt{6}$. Площадь $S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}$ см$^2$. ### Задача 4 Разность сторон правильного треугольника ($a_3$) и правильного четырехугольника (квадрата, $a_4$), вписанных в одну окружность радиуса $R$, равна 2 см. $a_3 = R\sqrt{3}$, $a_4 = R\sqrt{2}$. $R\sqrt{3} - R\sqrt{2} = 2 \Rightarrow R(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2 \Rightarrow R = \frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})$. Периметр правильного шестиугольника, описанного около этой окружности: Сторона $a_6 = R \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$. (Здесь, вероятно, опечатка в условии, периметр обычно ищут для шестиугольника $P_6 = 6 \cdot a_6$).