Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$.

Давай разберем каждое задание по порядку. ### Задание 1 Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным 1. Найдите синус угла между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$. 1. Угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$ — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. 2. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABCD$ является точка $B$, а проекцией точки $D$ является сама точка $D$. Значит, проекция прямой $B_1D$ на плоскость $ABCD$ — это прямая $BD$. 3. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle B_1DB$. 4. В прямоугольном треугольнике $B_1BD$ катеты $B_1B = 1$ (ребро куба) и $BD = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (диагональ квадрата основания). 5. Гипотенуза $B_1D = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$. 6. Синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{B_1B}{B_1D} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{3}$. ### Задание 2 Сумма всех рёбер параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 288 см. Найдите длины рёбер, если $AB:AD:AA_1 = 5:6:7$. 1. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда $AB = 5x$, $AD = 6x$, $AA_1 = 7x$. 2. Всего у прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер: 4 каждого вида. Сумма длин всех рёбер $S = 4 \cdot (AB + AD + AA_1)$. 3. $288 = 4 \cdot (5x + 6x + 7x) \Rightarrow 288 = 4 \cdot (18x) \Rightarrow 288 = 72x$. 4. $x = 288 / 72 = 4$. 5. $AB = 5 \cdot 4 = 20$ см, $AD = 6 \cdot 4 = 24$ см, $AA_1 = 7 \cdot 4 = 28$ см. **Ответ:** 20 см, 24 см, 28 см. ### Задание 3 В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскости, перпендикулярные прямой $AD$. 1. Прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABCD$ и в плоскости $ADD_1A_1$. Она перпендикулярна прямым $AB$, $DC$, $AA_1$, $DD_1$. 2. Чтобы плоскость была перпендикулярна прямой $AD$, она должна содержать две пересекающиеся прямые, перпендикулярные $AD$. Этими прямыми будут, например, $AB$ и $AA_1$ (или $DC$ и $DD_1$, или их комбинации). 3. Плоскость, перпендикулярная $AD$, — это $ABB_1$ (она же $(A_1AB)$) или плоскость $(D_1DC)$. 4. Подходит вариант: $(A_1AB)$ и $(D_1DC)$. **Ответ:** $(A_1AB)$ и $(D_1DC)$. ### Задание 4 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 8; 5; 6. 1. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. 2. $d = \sqrt{8^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 25 + 36}$. 3. $d = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$. **Ответ:** $5\sqrt{5}$.