5. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 4√2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи построим трапецию ABCD, где основания BC = 12 и AD = 18. Пусть боковая сторона AB = 4\sqrt{2}, а угол между этой стороной и большим основанием (\angle A) равен 135°. Так как сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°, то \angle B = 180° - 135° = 45°. Проведем высоту BH к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH: 1. \angle H = 90°. 2. \angle A = 180° - 135° = 45° (так как угол при основании тупой, высота падает на продолжение стороны AD, либо если мы опускаем высоту из острого угла, то угол 135° соответствует смежному с ним 45°). Поскольку треугольник ABH прямоугольный и равнобедренный (так как один из острых углов 45°), то: $BH = AH = AB \cdot \sin(45°) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ $S = \frac{18 + 12}{2} \cdot 4 = \frac{30}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$. Ответ: 60.