Question

335 Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA.

Accepted Answer

Дано: $	riangle ABC$, биссектрисы внешних углов $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $O$.

Доказать: $O$ равноудалена от прямых $AB, BC$ и $CA$.

Доказательство:

1. Так как $O$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$, то по свойству биссектрисы угла любая точка на ней равноудалена от сторон этого угла. Значит, расстояние от $O$ до прямой $AB$ равно расстоянию от $O$ до прямой $BC$. Обозначим это расстояние как $h_1 = h_2$.

2. Так как $O$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $C$, то по свойству биссектрисы угла, $O$ равноудалена от сторон этого угла. Значит, расстояние от $O$ до прямой $BC$ равно расстоянию от $O$ до прямой $AC$. Обозначим это расстояние как $h_2 = h_3$.

3. Из равенств $h_1 = h_2$ и $h_2 = h_3$ следует, что $h_1 = h_2 = h_3$.

Следовательно, точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех трех прямых $AB, BC$ и $AC$, что и требовалось доказать.

335 Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA.

Ответ ассистента

Другие решения