Доказать тождество (1069-1070).

Привет! Давай докажем эти тождества. В решении будем использовать формулы понижения степени и формулы двойного угла. ### 1) Доказать: $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \sin\alpha$ Воспользуемся формулой $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$, где $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$. $1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. По формулам приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$. Получаем $1 + \sin\alpha$. Тождество доказано. ### 2) Доказать: $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin\alpha$ Воспользуемся формулой $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$, где $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$. $1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. По формулам приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$. Получаем $1 - \sin\alpha$. Тождество доказано. ### 3) Доказать: $\frac{3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha}{3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha$ *Примечание: в условии задачи на фото написано $\operatorname{tg}4\alpha$, но обычно в таких задачах получается $\operatorname{tg}^2\alpha$ или $\operatorname{tg}^4\alpha$. Разберем исходное выражение.* Распишем $\cos4\alpha$ через $\cos2\alpha$: $\cos4\alpha = 2\cos^22\alpha - 1$. Числитель: $3 - 4\cos2\alpha + 2\cos^22\alpha - 1 = 2\cos^22\alpha - 4\cos2\alpha + 2 = 2(\cos^22\alpha - 2\cos2\alpha + 1) = 2(\cos2\alpha - 1)^2$. Знаменатель: $3 + 4\cos2\alpha + 2\cos^22\alpha - 1 = 2\cos^22\alpha + 4\cos2\alpha + 2 = 2(\cos^22\alpha + 2\cos2\alpha + 1) = 2(\cos2\alpha + 1)^2$. Дробь: $\frac{2(\cos2\alpha - 1)^2}{2(\cos2\alpha + 1)^2} = \left(\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}\right)^2 = \left(\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}\right)^2 = (\operatorname{tg}^2\alpha)^2 = \operatorname{tg}^4\alpha$. Вероятно, в учебнике опечатка в условии (степень или коэффициент), но при таком преобразовании получается $\operatorname{tg}^4\alpha$. ### 4) Доказать: $\frac{1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha}{1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha$ Используем формулы: $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$, $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Числитель: $2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$. Знаменатель: $2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)$. Дробь: $\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha$. Тождество доказано.