4. В треугольнике MPK проведены высоты MO и PH. Найдите ∠MPO и ∠KPH, если даны два угла: ∠MKP = 40°, ∠KMP = 30°.

Дано: треугольник $MPK$, где $\angle MKP = 40^\circ$ и $\angle KMP = 30^\circ$. $MO$ и $PH$ — высоты. 1. Найдем третий угол треугольника $MPK$: $\angle PMK + \angle MKP + \angle KPM = 180^\circ$ $30^\circ + 40^\circ + \angle KPM = 180^\circ$ $\angle KPM = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOK$ (так как $MO$ — высота к $PK$): В $\triangle MOK$: $\angle MOK = 90^\circ$, $\angle MKO = 40^\circ$. $\angle KMO = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. 3. Найдем $\angle MPO$: $\angle MPO = \angle KPM - \angle KPO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PHK$: В $\triangle PHK$: $\angle PHK = 90^\circ$, $\angle PKH = 40^\circ$. $\angle KPH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. 4. Теперь найдем $\angle MPO$ из прямоугольного треугольника $MOP$: В $\triangle MOP$: $\angle MOP = 90^\circ$. $\angle MPO = 90^\circ - \angle PMO$. Так как $\angle KMP = 30^\circ$, а мы нашли $\angle KMO = 50^\circ$, то $\angle PMO = \angle KMO - \angle KMP = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$. Следовательно, $\angle MPO = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$. Ответ: $\angle MPO = 70^\circ$, $\angle KPH = 50^\circ$.