Question

20.37. Через центр O квадрата ABCD проведена прямая MO, перпендикулярная плоскости квадрата. Точка K - середина отрезка CD, MC = 6 см, ∠MCK = 60°.

Accepted Answer

Дано: ABCD — квадрат, O — центр квадрата, MO ⊥ плоскости (ABCD), K — середина CD, MC = 6 см, ∠MCK = 60°.

1) Доказательство:
Так как MO ⊥ плоскости (ABCD), то MO перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит MO ⊥ CD.
В квадрате отрезок OK соединяет центр с серединой стороны CD, следовательно, OK ⊥ CD (свойство диагоналей и середин сторон квадрата).
Так как прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым MO и OK, лежащим в плоскости (MOK), то CD ⊥ (MOK).

2) Решение:
Рассмотрим треугольник $\Delta MKC$. Так как CD ⊥ (MOK), то CD ⊥ MK, следовательно, $\angle MKC = 90^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\Delta MKC$:
$KC = MC \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot 0,5 = 3$ см.
$MK = MC \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Так как K — середина CD, то $CD = 2 \cdot KC = 6$ см. Тогда $OK = \frac{1}{2} CD = 3$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta MOK$ ($\angle MOK = 90^\circ$):
$MO^2 + OK^2 = MK^2$
$MO^2 + 3^2 = (3\sqrt{3})^2$
$MO^2 + 9 = 27$
$MO^2 = 18$
$MO = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: 3\sqrt{2} см.

20.37. Через центр O квадрата ABCD проведена прямая MO, перпендикулярная плоскости квадрата. Точка K - середина отрезка CD, MC = 6 см, ∠MCK = 60°.

Ответ ассистента

Другие решения