1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔABO = ΔDCO.

Привет! Давай разберем эти геометрические задачи. ### Задача 1 Дано: $AB = CD$, $\angle ABC = 65^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$, $\angle AOC = 110^\circ$. 1. Найдем $\angle C$ в треугольнике $\triangle DCO$. В $\triangle DCO$ сумма углов $180^\circ$. $\angle DCO = 180^\circ - 45^\circ - \angle DOC$. $\angle DOC$ смежный с $\angle AOC$, значит $\angle DOC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Тогда $\angle DCO = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$. 2. Докажем $\triangle ABO = \triangle DCO$. Мы имеем: $AB = CD$ (дано), $\angle ABC = \angle BCD = 65^\circ$ (из расчетов). Также $\angle AOB = 70^\circ$ (вертикальный к $\angle DOC = 70^\circ$). Тогда $\angle BAO = 180^\circ - 65^\circ - 70^\circ = 45^\circ$. В треугольниках стороны и прилежащие к ним углы равны ($AB=CD$, $\angle BAO = \angle CDO = 45^\circ$, $\angle ABO = \angle DCO = 65^\circ$). Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства). ### Задача 2 В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$, значит углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Дано: $\angle A + \angle C = 156^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, то $2\angle A = 156^\circ$, откуда $\angle A = 78^\circ$, $\angle C = 78^\circ$. Угол $B = 180^\circ - (78^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$. **Ответ:** $78^\circ, 78^\circ, 24^\circ$. ### Задача 3 Так как $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ — равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой $AC$ (или же просто $AB=BC$ и $AD=DC$, $\angle B=\angle D=90^\circ$), и лежат в разных полуплоскостях: Углы при основаниях: $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$ и $\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ$. Угол $\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Угол $\angle ABC = 90^\circ$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle ABC + \angle BCD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, $AB \parallel CD$. ### Задача 4 Дано: $\angle DBC = 90^\circ$, $\angle BDC = 60^\circ$, $BD = 4$ см. а) В прямоугольном $\triangle DBC$: $\tan(60^\circ) = \frac{BC}{BD} \Rightarrow BC = BD \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.73$, то $BC \approx 4 \cdot 1.73 = 6.92$. Значит, длина отрезка $BC$ заключена между целыми числами **6 и 7** (точнее, $6 < 6.92 < 7$). б) Медиана $BE$ в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Сначала найдем гипотенузу $DC = \sqrt{BD^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$ см. Тогда $BE = \frac{1}{2} DC = 4$ см. **Ответ:** а) между 6 и 7; б) 4 см.