1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔABO = ΔDCO.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. ### Задача 1 Дано: $AB = CD$, $\angle ABC = 65^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$, $\angle AOC = 110^\circ$. Найти: $\angle C$. Доказать: $\Delta ABO = \Delta DCO$. 1. **Доказательство:** В треугольниках $ABO$ и $DCO$: $AB = CD$ (по условию), $\angle BAO = \angle DCO$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ — но здесь нужно быть аккуратнее, так как мы это еще не доказали). * Более верный путь: $\Delta ABO$ и $\Delta DCO$. У нас есть $AB=CD$. Углы $\angle ABO$ и $\angle DCO$ равны, если доказать параллельность. * Сумма углов в $\Delta ABO$ и $\Delta DCO$. В $\Delta AOC$: $\angle AOC = 110^\circ$, значит $\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ (как смежные). * Это классическая задача на признаки равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что $\angle C = \angle A = \angle ADC = 45^\circ$. ### Задача 2 В равнобедренном $\Delta ABC$ с основанием $AC$ сумма углов $A$ и $C$ равна $156^\circ$. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. 2. Так как $\angle A + \angle C = 156^\circ$, то $\angle A = \angle C = 156^\circ / 2 = 78^\circ$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит $\angle B = 180^\circ - (78^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$. **Ответ:** $78^\circ, 78^\circ, 24^\circ$. ### Задача 3 Дано: $\Delta ABC$ и $\Delta ADC$ — прямоугольные и равнобедренные, $\angle B = \angle D = 90^\circ$. Доказать $AB \parallel CD$. 1. Так как треугольники равнобедренные, то $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$ и $\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ$. 2. Точки $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно $AC$. 3. Рассмотрим $\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. 4. Рассмотрим $\angle ABC$ и $\angle BCD$. Прямая $BC$ является секущей. Сумма внутренних односторонних углов $\angle ABC + \angle BCD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. 5. Следовательно, $AB \parallel CD$. ### Задача 4 Дано: $\angle DBC = 90^\circ$, $\angle BDC = 60^\circ$, $BD = 4$ см. а) Найдем $BC$. В прямоугольном $\Delta DBC$: $\tan(\angle BDC) = BC / BD$, значит $BC = BD \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 4 \cdot 1.73 = 6.92$ см. * Длина отрезка $BC$ заключена между целыми числами **6 и 7**. б) Медиана $BE$ в прямоугольном треугольнике к гипотенузе $DC$. * Гипотенуза $DC = BD / \cos(60^\circ) = 4 / 0.5 = 8$ см. * Медиана $BE = 1/2 \cdot DC = 1/2 \cdot 8 = 4$ см. **Ответ:** а) между 6 и 7; б) 4 см.