Укажите систему которая является системой двух линейных уравнений с двумя переменными

Привет! Давай разберем контрольную работу по алгебре. ### 1. Укажите систему, которая является системой двух линейных уравнений с двумя переменными: Линейное уравнение имеет вид $ax + by = c$. В системах а) и б) есть переменные в квадрате ($x^2$) или в знаменателе ($\frac{1}{x}$), что делает их нелинейными. **Ответ: в)** $\begin{cases} 3y + x = 17 \\ 0,1x - y = 7 \end{cases}$ ### 2. Укажите точку, принадлежащую графику уравнения $2x - 5y = 1$: Подставим координаты точек $(x; y)$ в уравнение: а) $A(5; 2) \rightarrow 2(5) - 5(2) = 10 - 10 = 0 \neq 1$. Не подходит. б) $B(-1; -1) \rightarrow 2(-1) - 5(-1) = -2 + 5 = 3 \neq 1$. Не подходит. в) $C(-2; -1) \rightarrow 2(-2) - 5(-1) = -4 + 5 = 1$. **Подходит!** **Ответ: в) C(-2; -1)** ### 3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = 12 \\ x = 3y \end{cases}$: Подставим $x = 3y$ в первое уравнение: $3y + y = 12 \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3$. Тогда $x = 3 \cdot 3 = 9$. **Ответ: (9; 3)** ### 4. Постройте график уравнения $0x + 2y = 6$: Упростим: $2y = 6 \Rightarrow y = 3$. Это прямая, параллельная оси $Ox$, проходящая через точку $(0; 3)$. ### 5. Найдите координаты точки пересечения прямых $11x - y = 150$ и $y + 7x = 30$: Решим систему: $ \begin{cases} 11x - y = 150 \\ 7x + y = 30 \end{cases} $ Сложим уравнения: $(11x + 7x) + (-y + y) = 150 + 30$ $18x = 180 \Rightarrow x = 10$. Подставим $x=10$ во второе уравнение: $7(10) + y = 30 \Rightarrow 70 + y = 30 \Rightarrow y = -40$. **Ответ: (10; -40)** ### 6. Решите систему уравнений: $ \begin{cases} 2(3x - y) - 5 = 2x - 3y \\ 5 - (x - 2y) = 4y + 16 \end{cases} $ Раскроем скобки: $ \begin{cases} 6x - 2y - 5 = 2x - 3y \\ 5 - x + 2y = 4y + 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x + y = 5 \\ -x - 2y = 11 \end{cases} $ Умножим второе уравнение на 4: $ \begin{cases} 4x + y = 5 \\ -4x - 8y = 44 \end{cases} $ Сложим: $-7y = 49 \Rightarrow y = -7$. $4x + (-7) = 5 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$. **Ответ: (3; -7)** ### 7. Запишите формулу, задающую линейную функцию $y = kx + b$: По графику видно, что прямая проходит через точки $(0; 2)$ и $(2; -2)$. $b = 2$ (точка пересечения с осью $Oy$). $k = \frac{-2 - 2}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$. **Ответ: $y = -2x + 2$** ### 8. Решите систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{2x - y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3 \\ \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{4} = 4 \end{cases} $ Умножим первое уравнение на 18, второе на 12: $ \begin{cases} 3(2x - y) + 2(2x + y) = 54 \\ 4(x + y) - 3(x - y) = 48 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x - 3y + 4x + 2y = 54 \\ 4x + 4y - 3x + 3y = 48 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10x - y = 54 \\ x + 7y = 48 \end{cases} $ Из второго: $x = 48 - 7y$. Подставим в первое: $10(48 - 7y) - y = 54 \Rightarrow 480 - 70y - y = 54 \Rightarrow -71y = -426 \Rightarrow y = 6$. $x = 48 - 7(6) = 48 - 42 = 6$. **Ответ: (6; 6)**