Прямая AB — касательная в точке B к окружности с центром O. Отрезок AO пересекает окружность в точке C; AO = 18 см, ∠BAO = 30°. Найдите длину отрезка BC.

Решение задачи 167: 1) AB $\perp$ OB (радиус проведен в точку касания), в прямоугольном треугольнике ABO $\angle B = 90^{\circ}$, а значит, $\angle AOB = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) OB = 0,5 $\cdot$ AO = 0,5 $\cdot$ 18 = 9 см (катет, лежащий против угла 30°), поэтому треугольник BOC: OB = OC (радиусы), значит, $\angle OBC = \angle OCB = (180^{\circ} - 60^{\circ}) : 2 = 60^{\circ}$. Следовательно, треугольник BOC равносторонний и BC = OB = 9 см. Ответ: 9 см. Решение задачи 168: Так как OC = OB (радиусы), то треугольник BOC — равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Внешний угол треугольника BOC при вершине O равен $\angle AOB = \angle OBC + \angle OCB = 2 \cdot \angle OBC$. Так как $\angle BAC = 30^{\circ}$, в прямоугольном треугольнике ABO (где $\angle ABO = 90^{\circ}$) $\angle AOB = 60^{\circ}$. Тогда $\angle OBC = 30^{\circ}$. Значит, $\angle ABC = \angle ABO - \angle OBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Мы видим, что $\angle ABC = \angle BAC = 60^{\circ}$, значит треугольник ABC равнобедренный, но это не требуется для доказательства касательной. Вернее будет так: $\angle OBC = 30^{\circ}$, тогда $\angle OCB = 30^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике ABC: $\angle BAC = 30^{\circ}$, $\angle BCA = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. $\angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 150^{\circ} = 0^{\circ}$? Нет, в условии $\angle BAC = 30^{\circ}$ и $\angle ABC = 30^{\circ}$ — ошибка в условии задачи или рисунке, так как если $\angle BAC = 30^{\circ}$ и AC — касательная, то $\angle OAC = 90^{\circ}$, что невозможно. Вероятно, в задаче 168 $\angle BAC = 30^{\circ}$ и нужно доказать, что AC — касательная. В треугольнике AOC стороны OA = OC (радиусы), треугольник равнобедренный. $\angle OAC = \angle OCA = 30^{\circ}$. Тогда $\angle AOC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$. Если AC — касательная, то угол между радиусом OC и касательной AC должен быть $90^{\circ}$. Но $\angle OCA = 30^{\circ}$. Возможно, опечатка в условии: если AC — касательная, то $\angle OAC$ должен быть $90^{\circ}$ или $\angle AOC = 90^{\circ}$. При $\angle OAC = 90^{\circ}$, $\angle AOC = 60^{\circ}$.