2. Вычислить интеграл: (3 cos x - 2)dx,

Привет! Давай разберем эти задачи по математическому анализу. **2. Вычисление интеграла** $\int_{\pi/2}^{\pi} (3 \cos x - 2) dx = [3 \sin x - 2x]_{\pi/2}^{\pi} = (3 \sin \pi - 2 \cdot \pi) - (3 \sin(\pi/2) - 2 \cdot \pi/2) = (0 - 2\pi) - (3 \cdot 1 - \pi) = -2\pi - 3 + \pi = -\pi - 3$. **3. Площадь фигуры** Найдем точки пересечения: $2 - x^2 = x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Площадь $S = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx = [2x - \frac{2x^3}{3}]_{-1}^{1} = (2 - \frac{2}{3}) - (-2 + \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$. **4. Первообразная для $f(x) = 2x - 4\sqrt{x}$** $F(x) = \int (2x - 4x^{1/2}) dx = x^2 - 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = x^2 - \frac{8}{3}x\sqrt{x} + C$. Подставим точку M(1; 9): $9 = 1^2 - \frac{8}{3} \cdot 1\sqrt{1} + C \Rightarrow 9 = 1 - \frac{8}{3} + C \Rightarrow 9 = -\frac{5}{3} + C \Rightarrow C = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$. Итого: $F(x) = x^2 - \frac{8}{3}x\sqrt{x} + \frac{32}{3}$. **5. Путь тела** $S = \int_{2}^{5} (3t^4 - t^2) dt = [\frac{3t^5}{5} - \frac{t^3}{3}]_{2}^{5} = (\frac{3 \cdot 3125}{5} - \frac{125}{3}) - (\frac{3 \cdot 32}{5} - \frac{8}{3}) = (1875 - 41{,}67) - (19{,}2 - 2{,}67) = 1833{,}33 - 16{,}53 = 1816{,}8$. **6. Восстановление движения** $a(t) = 2t^4 + t - 3t^2 - 2$. Скорость $v(t) = \int a(t) dt = \frac{2}{5}t^5 + \frac{1}{2}t^2 - t^3 - 2t + C_1$. Так как $v(0) = 7$, то $C_1 = 7$. $v(t) = 0{,}4t^5 - t^3 + 0{,}5t^2 - 2t + 7$. Путь $S(t) = \int v(t) dt = \frac{0{,}4t^6}{6} - \frac{t^4}{4} + \frac{0{,}5t^3}{3} - t^2 + 7t + C_2$. Так как $S(0) = 3$, то $C_2 = 3$. $S(t) = \frac{t^6}{15} - 0{,}25t^4 + \frac{1}{6}t^3 - t^2 + 7t + 3$.