№1. Найдите значение выражения: (\sqrt{13} + \sqrt{7})^2

### Блок I **№1. Найдите значение выражения:** 1) $(\sqrt{13} + \sqrt{7})^2 = 13 + 2\sqrt{13}\sqrt{7} + 7 = 20 + 2\sqrt{91}$ 2) $\frac{\sqrt[5]{10} \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{5}} = \sqrt[5]{\frac{10 \cdot 16}{5}} = \sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{32} = 2$ 3) $\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{49} = \sqrt[3]{49^2} = \sqrt[3]{(7^2)^2} = \sqrt[3]{7^4} = 7\sqrt[3]{7}$ **№2. Найдите корень уравнения:** 1) $\sqrt{15 - 2x} = 3 \Rightarrow 15 - 2x = 9 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ 2) $\sqrt[3]{x + 2} = 4 \Rightarrow x + 2 = 64 \Rightarrow x = 62$ 3) $\sqrt{-72 - 17x} = -x$. Возведем в квадрат: $-72 - 17x = x^2 \Rightarrow x^2 + 17x + 72 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = -8, x_2 = -9$. Проверка: при $x = -8, \sqrt{-72 + 136} = \sqrt{64} = 8 \neq -(-8)$ (не подходит, т.к. справа $8$, а должно быть $-x=8$); при $x = -9, \sqrt{-72 + 153} = \sqrt{81} = 9 \neq -(-9)$ (не подходит). Корней нет. ### Блок II **№1. Найдите значение выражения:** 1) $\frac{x^{-5} \cdot x^7}{x^0} = \frac{x^2}{1} = x^2$. При $x=4$: $4^2 = 16$. 2) $\left(\frac{2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 = \left(\frac{2^{0.5}}{2^{1/3}}\right)^2 = \left(2^{0.5 - 1/3}\right)^2 = \left(2^{1/6}\right)^2 = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ 3) $0,8^7 \cdot 5^7 \cdot 20^6 = (0,8 \cdot 5)^7 \cdot 20^6 = 4^7 \cdot 20^6 = 4 \cdot 4^6 \cdot 20^6 = 4 \cdot (4 \cdot 20)^6 = 4 \cdot 80^6$ **№2. Найдите корень уравнения:** 1) $2^{4-2x} = 64 \Rightarrow 2^{4-2x} = 2^6 \Rightarrow 4 - 2x = 6 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1$ 2) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-6} = 8^x \Rightarrow (2^{-1})^{x-6} = (2^3)^x \Rightarrow 2^{6-x} = 2^{3x} \Rightarrow 6 - x = 3x \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = 1,5$ 3) $6^{2-5x} = 0,6 \cdot 10^{2-5x} \Rightarrow \frac{6^{2-5x}}{10^{2-5x}} = 0,6 \Rightarrow (0,6)^{2-5x} = 0,6^1 \Rightarrow 2 - 5x = 1 \Rightarrow -5x = -1 \Rightarrow x = 0,2$ ### Блок III **№1. Найдите значение выражения:** 1) $(\log_2 4) \cdot (\log_3 81) = 2 \cdot 4 = 8$ **№2. Найдите корень уравнения:** 1) $\log_5(7-x) = \log_5(3-x) + 1 \Rightarrow \log_5(7-x) = \log_5(3-x) + \log_5 5 \Rightarrow \log_5(7-x) = \log_5(5(3-x)) \Rightarrow 7-x = 15 - 5x \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$ ### Блок IV **№1. Найдите значение выражения:** 1) $8 \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} = 4 \cdot (2 \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12}) = 4 \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = 4 \sin \frac{5\pi}{6} = 4 \cdot 0,5 = 2$ 2) $\frac{22(\sin^2 72^{\circ} - \cos^2 72^{\circ})}{\cos 144^{\circ}} = \frac{22 \cdot (-(\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 72^{\circ}))}{\cos 144^{\circ}} = \frac{-22 \cos 144^{\circ}}{\cos 144^{\circ}} = -22$ **№2. Найдите корень уравнения:** $\cos \frac{\pi(x+5)}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\pi(x+5)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x+5 = \pm 1 + 6n \Rightarrow x = -5 \pm 1 + 6n$. Решения: $x = -4 + 6n$ и $x = -6 + 6n$. **№3. Решите уравнение:** $\sin 2x = 2 \cos^2 x \Rightarrow 2 \sin x \cos x = 2 \cos^2 x \Rightarrow 2 \cos x (\sin x - \cos x) = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ или $\sin x = \cos x (\Rightarrow \tan x = 1)$. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.