На рисунке 271 точка O — центр окружности, ∠AOC = 50°. Найдите угол BCO.

### Задача 1 На рисунке 271 $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные, так как $OA = OC = OB$ (радиусы). 1. В $\triangle AOC$: $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 65^\circ$. 2. Угол $\angle AOB$ — развернутый (точка $O$ лежит на отрезке $AB$, это диаметр). Тогда $\angle BOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. 3. В $\triangle BOC$: $\angle BCO = \angle CBO = (180^\circ - 130^\circ) / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$. **Ответ: 25^\circ.** ### Задача 2 *Примечание: в условии опечатка, касательная AB не может иметь точку касания B, если AB — это касательная. Скорее всего, касательная — это $AC$, а $B$ — точка касания, либо $AB$ — касательная в точке $B$. Предположим, $OB$ — радиус в точку касания $B$, $AB=8$, $\angle AOB = 45^\circ$.* 1. В точке касания радиус перпендикулярен касательной, значит $\angle OBA = 90^\circ$. 2. $\triangle OBA$ — прямоугольный. $\text{tg}(\angle AOB) = AB / OB$. 3. $\text{tg}(45^\circ) = 8 / OB \Rightarrow 1 = 8 / OB \Rightarrow OB = 8$. **Ответ: 8 см.** ### Задача 3 1. Дано: $AB$ — диаметр, $BC \parallel AD$. Хорды $BC$ и $AD$ параллельны. 2. Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Вписанная трапеция всегда равнобедренная. 3. Следовательно, боковые стороны $AC = BD$, но нам нужно доказать $AD = BC$? Нет, параллельные хорды отсекают равные дуги. Дуга $AB$ (по одну сторону) = дуге $CD$ (по другую). Хорды $AD$ и $BC$ стягивают равные дуги, значит $AD = BC$ — это неверно, они параллельны. Доказать нужно $AC = BD$ или равенство дуг. Скорее всего, в условии опечатка и нужно доказать равенство хорд $AC = BD$ или дуг. Если же требуется доказать, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $AC = BD$ (диагонали равны) и $AB = CD$ (боковые стороны равны). Поскольку $BC \parallel AD$, то дуги $AB$ и $CD$ равны, откуда $AC = BD$.