7. Найди значение выражения \sqrt{50} - \sqrt{200} \sin^2\left(\frac{13\pi}{8}\right).

Для решения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. 1. Упростим корни: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ 2. Применим формулу к выражению $\sin^2\left(\frac{13\pi}{8}\right)$: $\sin^2\left(\frac{13\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{13\pi}{8})}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{13\pi}{4}\right)}{2}$ 3. Вычислим косинус $\cos\left(\frac{13\pi}{4}\right)$: $\frac{13\pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \pi + \frac{\pi}{4}$. По формулам приведения: $\cos\left(2\pi + \frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. 4. Подставим в выражение: $5\sqrt{2} - 10\sqrt{2} \cdot \frac{1 - (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \cdot (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -5 \cdot \frac{2}{2} = -5$. Ответ: -5