Question

3. Дана окружность с центром O и радиусом 8 и точка A (см. рис. 153). Прямые AC и AB касаются окружности в точках C и B. Найдите OA, если угол BAO = 45°.

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательной к окружности.

1. Радиус $OB$, проведенный в точку касания $B$, перпендикулярен касательной $AB$. Следовательно, треугольник $	riangle OBA$ — прямоугольный, где $\angle OBA = 90^\circ$.
2. Нам известно, что радиус окружности $OB = 8$, а угол $\angle BAO = 45^\circ$.
3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, значит, $\angle BOA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
4. Так как углы при основании $OA$ равны ($\angle BAO = \angle BOA = 45^\circ$), треугольник $	riangle OBA$ является равнобедренным.
5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, поэтому $AB = OB = 8$.
6. Чтобы найти гипотенузу $OA$, воспользуемся теоремой Пифагора:
$OA^2 = OB^2 + AB^2$
$OA^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$
$OA = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \approx 11,31$

Ответ: $AB = 8$, $OA = 8\sqrt{2}$.

3. Дана окружность с центром O и радиусом 8 и точка A (см. рис. 153). Прямые AC и AB касаются окружности в точках C и B. Найдите OA, если угол BAO = 45°.

Ответ ассистента

Другие решения