Билет №2 1. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них)

### 1. Признаки параллелограмма Четырехугольник является параллелограммом, если: - Противолежащие стороны попарно равны. - Противолежащие стороны попарно параллельны. - Диагонали точкой пересечения делятся пополам. - Две стороны равны и параллельны. - Противолежащие углы попарно равны. *Доказательство (первый признак):* Если в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB=CD$ и $AD=BC$, проведем диагональ $AC$. Треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по трем сторонам (сторона $AC$ общая). Значит, равны и соответствующие углы: $\angle BAC = \angle ACD$ (накрест лежащие при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$) $\Rightarrow AB \parallel CD$. Аналогично, $\angle BCA = \angle CAD \Rightarrow BC \parallel AD$. Значит, $ABCD$ — параллелограмм. ### 2. Касательная к окружности Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. *Свойство:* Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. ### 3. Площадь прямоугольника Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения диагоналей. $\angle AOD = 60^\circ$ (угол между диагоналями). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит, $\triangle AOD$ — равнобедренный ($OA=OD$). Так как угол при вершине $60^\circ$, то $\triangle AOD$ — равносторонний, поэтому $OA=OD=AD=5$ см. Диагональ $AC = 2 \cdot OA = 10$ см. По теореме Пифагора из $\triangle ABC$: $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Так как $AB=5$, $25 + BC^2 = 100$, $BC^2 = 75$, $BC = 5\sqrt{3}$. $S = AB \cdot BC = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \approx 43.3$ см$^2$. ### 4. Углы параллелограмма Сумма всех углов четырехугольника равна $360^\circ$. Если сумма трех углов $254^\circ$, то четвертый угол равен $360^\circ - 254^\circ = 106^\circ$. У параллелограмма противолежащие углы равны, а сумма соседних равна $180^\circ$. Если один угол $106^\circ$, то соседний $180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. Углы: $74^\circ, 106^\circ, 74^\circ, 106^\circ$.