804. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль.

Решим задачи по очереди. ### Задача 804 Пусть $x$ км/ч — скорость автомобиля. Тогда скорость автобуса — $(x - 20)$ км/ч. Время в пути автомобиля: $\frac{240}{x}$ ч, а автобуса: $\frac{240}{x - 20}$ ч. По условию автобус ехал на 1 час дольше: $$\frac{240}{x - 20} - \frac{240}{x} = 1$$ Умножим на $x(x-20)$: $240x - 240(x - 20) = x(x - 20)$ $240x - 240x + 4800 = x^2 - 20x$ $x^2 - 20x - 4800 = 0$ Корни уравнения: $x_1 = 80$, $x_2 = -60$ (не подходит). Значит, скорость автомобиля $80$ км/ч, а автобуса $80 - 20 = 60$ км/ч. **Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч.** ### Задача 805 Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Он должен был проехать 80 км за время $t = \frac{80}{x}$. Увеличив скорость на 16 км/ч, он проехал те же 80 км за время $t' = \frac{80}{x+16}$. Разница во времени 10 минут = $1/6$ часа: $$\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 16} = \frac{1}{6}$$ $480(x + 16) - 480x = x(x + 16)$ $480x + 7680 - 480x = x^2 + 16x$ $x^2 + 16x - 7680 = 0$ $D = 256 + 30720 = 30976 = 176^2$ $x = \frac{-16 + 176}{2} = 80$ (отрицательный корень отбрасываем). **Ответ: 80 км/ч.** ### Задача 806 Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость всадника. Время пути туда: $\frac{15}{x}$, обратно: $\frac{15}{x+3}$. Разница 15 минут = $1/4$ часа: $$\frac{15}{x} - \frac{15}{x + 3} = \frac{1}{4}$$ $60(x + 3) - 60x = x(x + 3)$ $60x + 180 - 60x = x^2 + 3x$ $x^2 + 3x - 180 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 12$, $x_2 = -15$ (не подходит). **Ответ: 12 км/ч.**