Выясните, имеет ли система уравнений решения и сколько:

Для решения этих задач вспомним теорию: система двух линейных уравнений $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет: - Единственное решение, если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. - Нет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. - Бесконечно много решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. ### Задание 1 Приведем уравнения к виду $Ax + By = C$ и сравним коэффициенты. а) $\begin{cases} x - 3y = 11 \\ y = \frac{1}{3}x - 33 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 3y = 11 \\ -\frac{1}{3}x + y = -33 \end{cases}$ Отношение коэффициентов: $\frac{1}{-1/3} = -3$; $\frac{-3}{1} = -3$; $\frac{11}{-33} = -1/3$. Так как $-3 = -3 \neq -1/3$, система **не имеет решений** (прямые параллельны). б) $\begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ 0,3y = 0,8 - 0,4x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ 0,4x + 0,3y = 0,8 \end{cases}$ Отношение: $\frac{4}{0,4} = 10$; $\frac{3}{0,3} = 10$; $\frac{8}{0,8} = 10$. Все отношения равны, значит, системы **имеют бесконечно много решений** (уравнения задают одну и ту же прямую). в) $\begin{cases} 2x - 5y = -11 \\ x - 2,5y = 5,5 \end{cases}$ Отношение: $\frac{2}{1} = 2$; $\frac{-5}{-2,5} = 2$; $\frac{-11}{5,5} = -2$. Так как $2 = 2 \neq -2$, система **не имеет решений**. ### Задание 2 Прямая $m: 2x - y = 6$. 1) **Единственное решение:** прямые не должны быть параллельны (коэффициенты при $x$ и $y$ не пропорциональны). - $x - 2y = 6$ ($\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{-2}$, подходит) - $\frac{1}{6}y - \frac{1}{3}x = 2$ ($\frac{2}{-1/3} = -6$; $\frac{-1}{1/6} = -6$, параллельны, не подходит) - $2y = 3 - x$ ($\frac{2}{-1/2} = -4$; $\frac{-1}{1} = -1$, подходит) - $x - 0,5y = 0$ ($\frac{2}{1} = 2$; $\frac{-1}{-0,5} = 2$, параллельны, не подходит) - $0,5y = x - 3$ ($\frac{2}{1} = 2$; $\frac{-1}{0,5} = -2$, подходит) 2) **Нет решений:** прямые параллельны, но не совпадают ($k_1=k_2, b_1 \neq b_2$). - $x - 2y = 6$ ($k=0.5$) - $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y = 3$ (умножим на 2: $x - 0,5y = 6$; $\frac{2}{1} = 2$; $\frac{-1}{-0,5} = 2$; $\frac{6}{6} = 1$. Параллельны и совпадают, это случай 3). - $\frac{1}{6}y - \frac{1}{3}x = 2$ (умножим на -6: $2x - y = -12$. $\frac{2}{2} = 1$; $\frac{-1}{-1} = 1$; $\frac{6}{-12} = -0,5$. **Подходит**). - $x - 0,5y = 0$ ($\frac{2}{1} = 2$; $\frac{-1}{-0,5} = 2$; $\frac{6}{0} = \text{undefined}$. **Подходит**). 3) **Бесконечно много решений:** уравнения должны быть пропорциональны (одна и та же прямая). - $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y = 3$ (умножим на 4: $2x - y = 12$ — нет, не совпадает с $2x-y=6$). В списке нет такой прямой, которая совпадает с $2x-y=6$.