1. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера верных утверждений:

### Решение задания 1 Сначала найдем третий угол треугольника $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. $\angle A = 180^\circ - 22^\circ - (180^\circ - 68^\circ) = 180^\circ - 22^\circ - 112^\circ = 46^\circ$. Или, так как угол $68^\circ$ и $\angle BCA$ смежные, $\angle BCA = 112^\circ$. Тогда $\angle A = 180^\circ - 22^\circ - 112^\circ = 46^\circ$. 1) $\triangle ABC$ не прямоугольный, так как нет угла $90^\circ$. 2) $\triangle ABC$ не равнобедренный, так как все углы разные ($22^\circ, 46^\circ, 112^\circ$). 3) $\angle 1$ — внешний угол при вершине $A$ (смежный с внутренним углом $A$), верно. 4) $\angle 2$ — внешний угол при вершине $C$, так как он смежный с углом $BCA$, верно. **Ответ: 3, 4.** ### Решение задания 2 В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота в равностороннем треугольнике также является биссектрисой и медианой. Биссектриса делит угол $60^\circ$ пополам. Следовательно, высота разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника с углами $90^\circ$, $60^\circ$ и $30^\circ$ ($60^\circ / 2 = 30^\circ$). **Ответ: $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$.** ### Решение задания 3 Дано: $\angle B = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$, $AD = BC$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle CDA$. Доказательство: 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. У них общая гипотенуза $AC$. 2. По условию $BC = AD$. 3. Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету (или по трем сторонам, если доказать равенство катетов $AB$ и $CD$ через теорему Пифагора $AB^2 = AC^2 - BC^2$, $CD^2 = AC^2 - AD^2$, так как $BC=AD$, то и $AB=CD$). Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$. ### Решение задания 4 Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, $\angle C = 68^\circ$, $OP \parallel AC$. 1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то углы при основании равны: $\angle B = \angle C = 68^\circ$. 2. Найдем угол $A$: $\angle A = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$. 3. Так как $OP \parallel AC$, то $\triangle BOP \sim \triangle BAC$ (по двум углам: $\angle B$ общий, $\angle BPO = \angle C = 68^\circ$ как соответственные при параллельных прямых). 4. Значит, углы треугольника $BOP$: $\angle B = 68^\circ$, $\angle BPO = 68^\circ$, $\angle BOP = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ) = 44^\circ$. **Ответ: $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$.** ### Решение задания 5 Дано: $\triangle CDE$ — равнобедренный ($CE = DE$), $CM$ и $DH$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $A$. Доказать: $\triangle DAM = \triangle CAH$. Доказательство: 1. В $\triangle CDE$ углы при основании равны: $\angle ECD = \angle EDC$. 2. $CM$ и $DH$ — биссектрисы углов при основании, значит $\angle MCD = \angle ECD / 2$ и $\angle HDC = \angle EDC / 2$. Следовательно, $\angle MCD = \angle HDC$. 3. Рассмотрим $\triangle DCM$ и $\triangle CDH$: $CD$ — общая сторона, $\angle MCD = \angle HDC$, $\angle C = \angle D$. Значит, $\triangle DCM = \triangle CDH$ (по стороне и двум прилежащим углам). 4. Из равенства треугольников следует, что $DM = CH$ и $\angle DMC = \angle DHC$. 5. $\triangle DAM = \triangle CAH$: $AD = AC$ (свойства биссектрис), $DM = CH$, $\angle ADM = \angle ACH$ (так как $\angle C = \angle D$ и $\angle ACD = \angle ADC$). Треугольники равны.