В треугольнике MNP сторона MP продолжена за точку M на длину MK = MN и за точку P на длину PS = PN. Точка N соединена с точками K и S. Определите углы треугольника KSN, если угол KMN равен 150°, а угол NPM равен 48°.

Допущение: под «первым вариантом» подразумевается первое задание из списка (Вариант 3, задача 1). **Дано:** $\triangle MNP$, сторона $MP$ продолжена за $M$ на $MK = MN$ и за $P$ на $PS = PN$. $\angle KMN = 150^\circ$ $\angle NPM = 48^\circ$ **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle KMN$. Так как $MK = MN$, этот треугольник равнобедренный с основанием $KN$. Углы при основании равны: $\angle MKN = \angle MNK$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Угол при вершине $\angle KMN = 150^\circ$ (внешний угол при $M$ равен $150^\circ$ по условию, значит, внутренний угол треугольника $KMN$ равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$). Тогда $\angle MKN = \angle MNK = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ$. Но так как $150^\circ$ — это угол $KMN$ при вершине $M$, значит углы при основании $KN$: $\angle MKN = \angle MNK = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$. 2. Рассмотрим $\triangle PSN$. Так как $PS = PN$, этот треугольник равнобедренный с основанием $SN$. Угол при вершине $P$ — это внешний угол $\angle NPM = 48^\circ$ (внутренний угол треугольника $NPS$ равен $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$). Тогда углы при основании $SN$: $\angle PSN = \angle PNS = (180^\circ - 132^\circ) / 2 = 48^\circ / 2 = 24^\circ$. 3. В $\triangle MNP$ сумма углов $\angle NMP + \angle MNP + \angle NPM = 180^\circ$. $\angle NMP = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. $\angle MNP = 180^\circ - 30^\circ - 48^\circ = 102^\circ$. 4. Теперь найдем углы $\triangle KSN$: $\angle KNS = \angle KNM + \angle MNP + \angle PNS = 15^\circ + 102^\circ + 24^\circ = 141^\circ$. $\angle K = 15^\circ$. $\angle S = 24^\circ$. Проверка: $141^\circ + 15^\circ + 24^\circ = 180^\circ$. **Ответ:** Углы треугольника $KSN$ равны $141^\circ, 15^\circ, 24^\circ$.