60. Докажите, что при любых допустимых значениях переменной выражение принимает только отрицательные значения: а) 8a - 4a^2 - 2 / (2a - 5)^4 - 17 - 10a / (2a - 5)^4 - 6 - 2a / (2a - 5)^4; б) 2z + 8z^2 + 6z + 1 / 4z^2 - 1 - 8z^3 + 4z / 2z - 1.

Давай разберем каждое выражение по очереди. ### а) Упростим выражение, так как знаменатели одинаковы: $\frac{(8a - 4a^2 - 2) - (17 - 10a) - (6 - 2a)}{(2a - 5)^4}$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{8a - 4a^2 - 2 - 17 + 10a - 6 + 2a}{(2a - 5)^4} = \frac{-4a^2 + 20a - 25}{(2a - 5)^4}$ Вынесем минус в числителе за скобки: $\frac{-(4a^2 - 20a + 25)}{(2a - 5)^4}$ Заметим, что $4a^2 - 20a + 25$ — это квадрат разности $(2a - 5)^2$: $\frac{-(2a - 5)^2}{(2a - 5)^4} = -\frac{1}{(2a - 5)^2}$ Так как квадрат любого ненулевого числа всегда положителен, выражение $- \frac{1}{(2a - 5)^2}$ всегда будет принимать только отрицательные значения при всех допустимых $a \neq 2.5$. ### б) Упростим выражение: $2z + \frac{8z^2 + 6z + 1}{(2z - 1)(2z + 1)} - \frac{8z^3 + 4z}{2z - 1}$ Приведем к общему знаменателю $(2z - 1)(2z + 1)$: $\frac{2z(4z^2 - 1) + (8z^2 + 6z + 1) - (8z^3 + 4z)(2z + 1)}{(2z - 1)(2z + 1)}$ Раскроем скобки: $8z^3 - 2z + 8z^2 + 6z + 1 - (16z^4 + 8z^3 + 8z^2 + 4z)$ $8z^3 - 2z + 8z^2 + 6z + 1 - 16z^4 - 8z^3 - 8z^2 - 4z = -16z^4 + 1$ Теперь у нас выражение: $\frac{-16z^4 + 1}{(2z - 1)(2z + 1)} = \frac{1 - 16z^4}{4z^2 - 1} = \frac{(1 - 4z^2)(1 + 4z^2)}{-(1 - 4z^2)} = -(1 + 4z^2) = -1 - 4z^2$ Так как $4z^2 \ge 0$, то $-1 - 4z^2 \le -1$. Выражение всегда отрицательно при всех допустимых значениях $z$ ($z \neq \pm 0.5$).