Годовая контрольная работа по геометрии (8-Вкл.)

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по геометрии. ### 1. Задача про прямоугольник * Пусть диагональ $d = 41$ см, одна сторона $a = 40$ см. Другая сторона $b$ находится по теореме Пифагора: $b^2 = d^2 - a^2 = 41^2 - 40^2 = (41-40)(41+40) = 1 \cdot 81 = 81$ $b = \sqrt{81} = 9$ см. * Площадь $S = a \cdot b = 40 \cdot 9 = 360$ см². **Ответ:** 9 см; 360 см². ### 2. Задача про ромб * Периметр $P = 200$, значит сторона $a = 200 / 4 = 50$ см. * Диагонали относятся как $3:4$, пусть они равны $3x$ и $4x$. Половины диагоналей: $1.5x$ и $2x$. * Из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба: $(1.5x)^2 + (2x)^2 = 50^2$ $2.25x^2 + 4x^2 = 2500$ $6.25x^2 = 2500$ $x^2 = 400 \Rightarrow x = 20$. * Диагонали: $d_1 = 3 \cdot 20 = 60$, $d_2 = 4 \cdot 20 = 80$. * Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = 2400$ см². **Ответ:** 2400 см². ### 3. Задача про хорду * Хорда, перпендикулярная диаметру, делится им пополам. Пусть половина хорды равна $x$. По свойству хорд: $x^2 = 5 \cdot 45 = 225$ $x = \sqrt{225} = 15$ см. * Вся хорда равна $15 \cdot 2 = 30$ см. **Ответ:** 30 см. ### 4. Вычисления а) $\operatorname{tg} 45^\circ - \sin 30^\circ = 1 - 0.5 = 0.5$ б) $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ в) $\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$ (при условии $\cos \alpha \neq 0$)