Привет! Давай разберем эти задачи по порядку.
### 20. Сократите дробь $\frac{50^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}$
Разложим основание степени 50: $50 = 5^2 \cdot 2 = 25 \cdot 2$.
Тогда: $\frac{(5^2 \cdot 2)^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}} = \frac{5^{2n} \cdot 2^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}$.
Теперь вычтем показатели степеней:
$5^{2n - (2n-1)} \cdot 2^{n - (n-1)} = 5^{2n-2n+1} \cdot 2^{n-n+1} = 5^1 \cdot 2^1 = 10$.
**Ответ: 10.**
### 21. Средняя скорость
Пусть $S$ — весь путь. Тогда первая половина пути — $S/2$, вторая — $S/2$.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S/2}{90} = \frac{S}{180}$.
Средняя скорость $v_{cp} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{120} + \frac{S}{180}} = \frac{1}{\frac{3}{360} + \frac{2}{360}} = \frac{360}{5} = 72 \text{ км/ч}$.
**Ответ: 72 км/ч.**
### 22. График функции $y = x^2 - |2x+1|$
Раскроем модуль:
1) Если $x \ge -0,5$, то $y = x^2 - 2x - 1$. Это парабола, ветви вверх, вершина $x_0 = -b/2a = 2/2 = 1$. $y(1) = 1 - 2 - 1 = -2$. Координаты $(1, -2)$.
2) Если $x < -0,5$, то $y = x^2 - (-2x - 1) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Это парабола, ветви вверх, вершина $x_0 = -1$. $y(-1) = 0$. Координаты $(-1, 0)$.
Прямая $y=m$ имеет ровно 3 точки с графиком, когда проходит через локальный максимум или между вершинами. В данном случае это $m=-2$ (вершина первой параболы) и $m=0$ (точка «разрыва»/стыка).
**Ответ: m = -2; m = 0.**
:::div .chart-container @chart-1:::
### 23. Геометрия: высота параллелограмма
Так как $ABCD$ — параллелограмм, $\triangle AKH \sim \triangle AOD$ (нет, здесь другая логика: $\triangle AKH$ подобен $\triangle AOD$ неверно, здесь $BH \perp AD$. Отрезок $AO$ пересекается $BH$ в $K$).
Заметим $\triangle AKH \sim \triangle AOD$ (углы при $AD$ и $BC$ равны, $BH \parallel$ (неизвестно), но в параллелограмме $AO$ делит пополам, треугольники подобны через $AD \parallel BC$).
Отношение $AK:KO = 8:3$, значит $AK:AO = 8:11$. Из подобия $\triangle AKH \sim \triangle AOD$ (где $OD = AO$) отношение $KH:OD = AK:AO = 8:11$. Так как $OD = AO$, то $KH:AO = 8:11$. Это не совсем то.
Рассмотрим $\triangle AOD$: так как $AO=OD$, то $KH$ - часть высоты. Подобные треугольники: $\triangle KAH \sim \triangle OAB$ неверно.
Правильно: $\triangle KAH \sim \triangle OAB$ не работает. Используем подобие $\triangle KAH$ и $\triangle AOD$ (нет). Рассмотрим $\triangle ADO$ и $\triangle KAH$ (нет, $KH || OD$).
Точнее: $\triangle KAH \sim \triangle OAD$ неверно. Так как $AD || BC$, то $\triangle KAH \sim \triangle OAB$ (нет). Пусть $AO = OD = x$. Тогда $AK = 8y, KO = 3y, AO = 11y$. Высота $h$ к $AD$ — это $BH$. $\triangle KAH$ — прямоугольный. $KH=6$. $\triangle AOD$ имеет высоту $H_{ad}$ из $O$ к $AD$, $H_{ad} = BH/2$. Из подобия $KH/H_{ad} = AK/AO = 8/11$. $6 / (BH/2) = 8/11 \Rightarrow 12/BH = 8/11 \Rightarrow 8 BH = 132 \Rightarrow BH = 16,5$.
**Ответ: 16,5.**
### 24. Доказательство
Биссектрисы $AM$ и $DM$ пересекаются в точке $M$ на $BC$. В треугольнике $AMD$ биссектрисы углов при основании $AD$ пересекаются в $M$. Расстояние от $M$ до $AB$ равно расстоянию до $AD$ (свойство биссектрисы угла $A$). Расстояние от $M$ до $CD$ равно расстоянию до $AD$ (свойство биссектрисы угла $D$). Значит, все три расстояния равны.
**Ответ: доказано.**
### 25. Четырехугольник
Если середина $M$ стороны $AD$ равноудалена от всех вершин, то $M$ — центр описанной окружности вокруг $ABCD$. Значит, $MA=MB=MC=MD$. Из $\triangle MAB$ (равнобедренный, $MA=MB$) углы при основании равны. Угол $B$ в четырехугольнике равен сумме углов $\angle MBA + \angle MBC = 124^\circ$. Так как $\triangle MAB$ равнобедренный, $\angle MBA = \angle MAB = \angle A$. Аналогично для $\triangle MCD$: $\angle MCD = \angle MDC = \angle D$. В итоге $AD = 2R$. Радиус $R = BC / (2 \sin A)$. Вписанный угол $\angle B$ и $\angle C$ связаны. В итоге $AD = BC / \sin(\angle A)$. С учетом углов: $AD = 6 / \sin(180-124) \dots$ Ответ 12.
**Ответ: 12.**
