1. В треугольнике ABC угол A = 100, угол C = 40.

### Задача 1 a) Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $B$: $\angle B = 180^\circ - (100^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Так как $\angle B = \angle C = 40^\circ$, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Боковые стороны: $AB$ и $AC$. б) $CK$ — биссектриса, делит угол $C$ пополам. $\angle ACK = \angle KCB = 40^\circ / 2 = 20^\circ$. В треугольнике $AKC$ сумма углов $180^\circ$. $\angle AKC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACK) = 180^\circ - (100^\circ + 20^\circ) = 60^\circ$. Углы, которые биссектриса $CK$ образует с $AB$ (углы при вершине $K$): $\angle AKC = 60^\circ$ и $\angle BKC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. ### Задача 2 a) Рассмотрим $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$: 1. $AO = OB$ (по условию $O$ — середина $AB$). 2. $DO = OC$ (по условию $O$ — середина $CD$). 3. $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOD = \triangle BOC$ по двум сторонам и углу между ними. б) Так как $\triangle AOD = \triangle BOC$, то соответствующие элементы равны. Значит, $\angle OBC = \angle OAD$. В $\triangle AOD$: $\angle AOD = 180^\circ - (\angle ODA + \angle OAD) = 95^\circ$ (это внешний угол к $\triangle BOC$ или же $\angle BOC = 95^\circ$ по условию, тогда $\angle AOD = 95^\circ$). Тогда $\angle OAD = 180^\circ - (95^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\angle OBC = 45^\circ$. ### Задача 3 Периметр $P = 80$ см. Пусть $a$ — боковая сторона, $b$ — основание. $P = 2a + b = 80$. Возможны два случая: 1. Основание $b = 20$ см. Тогда $2a = 80 - 20 = 60$, $a = 30$ см. (Треугольник существует, так как $30+30 > 20$). 2. Боковая сторона $a = 20$ см. Тогда $2(20) + b = 80$, $40 + b = 80$, $b = 40$ см. Однако по неравенству треугольника сумма двух сторон должна быть больше третьей: $20 + 20 = 40$, что не больше основания $40$. Треугольник с такими сторонами вырождается в отрезок. Ответ: основание равно 20 см.