Входная контрольная работа 8 класс геометрия. II вариант

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по геометрии. Вот решения: ### 1. Отрезки на прямой Точки A, B и C лежат на одной прямой. Возможны два случая: - **Точка B между A и C:** Тогда $AC = AB + BC = 8 + 3,5 = 11,5$ см. - **Точка A между B и C:** Тогда $AC = BC - AB = 3,5 - 8 = -4,5$ (невозможно, так как длина не может быть отрицательной). - **Точка C между A и B:** Тогда $AC = AB - BC = 8 - 3,5 = 4,5$ см. **Ответ:** 11,5 см или 4,5 см. ### 2. Пересечение двух прямых При пересечении образуются две пары вертикальных углов и смежные углы. - Вертикальный угол равен заданному: $72^\circ$. - Смежные углы равны: $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. - Второй вертикальный угол тоже $108^\circ$. **Ответ:** $72^\circ, 108^\circ, 108^\circ$. ### 3. Параллельные прямые и секущая При пересечении двух параллельных прямых третьей образуется 8 углов, равных либо $62^\circ$, либо $180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$. **Ответ:** Четыре угла по $62^\circ$ и четыре угла по $118^\circ$. ### 4. Равнобедренный треугольник Сумма углов треугольника $180^\circ$. Возможны два случая: - **Случай 1:** Угол $46^\circ$ — при основании. Тогда второй угол при основании тоже $46^\circ$. Угол при вершине: $180^\circ - (46^\circ + 46^\circ) = 88^\circ$. - **Случай 2:** Угол $46^\circ$ — при вершине. Тогда углы при основании равны: $(180^\circ - 46^\circ) / 2 = 67^\circ$. **Ответ:** Два случая: 1) $46^\circ, 46^\circ, 88^\circ$; 2) $46^\circ, 67^\circ, 67^\circ$. ### 5. Высота и периметры Пусть $AB=BC=x$, $AC=y$. $P_{ABC} = 2x + y = 50$, $P_{ABD} = x + BD + y/2 = 40$. Умножим уравнение периметра $ABD$ на 2: $2x + 2BD + y = 80$. Вычтем $P_{ABC}$: $(2x + 2BD + y) - (2x + y) = 80 - 50 \Rightarrow 2BD = 30 \Rightarrow BD = 15$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому данных хватает. **Ответ:** $BD = 15$ см, данных хватает. ### 6. Прямоугольный треугольник В $\triangle ABC$ ($\angle B=90^\circ, \angle A=30^\circ$), значит $\angle C=60^\circ$. $BD \perp AC$. В $\triangle BDC$ ($\angle D=90^\circ, \angle C=60^\circ$), тогда $\angle CBD=30^\circ$. В прямоугольном $\triangle BDC$: $CD = BC \cdot \cos(60^\circ) \Rightarrow 7 = BC \cdot 0,5 \Rightarrow BC = 14$. В $\triangle ABC$: $BC = AB \cdot \operatorname{tg}(30^\circ)$ — не нужно. Найдем $AB = BC / \operatorname{tg}(30^\circ) = 14 / (1/\sqrt{3}) = 14\sqrt{3}$. $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(14\sqrt{3})^2 + 14^2} = \sqrt{588 + 196} = \sqrt{784} = 28$. $AD = AC - CD = 28 - 7 = 21$. **Ответ:** 21.