Вариант А1. 1. В треугольнике АВС $\angle A = 70^\circ, \angle C = 55^\circ$. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АВС.

Давай разберем задачи из варианта А1. ### Задание 1 В треугольнике ABC: $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 55^\circ$. а) Найдем угол B, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 70^\circ - 55^\circ = 55^\circ$. Так как $\angle C = \angle B = 55^\circ$, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC. б) Если BM — высота, опущенная на основание BC в равнобедренном треугольнике, то она также является биссектрисой и медианой. Биссектриса делит угол A пополам: $\angle ABM = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$, $\angle CBM = 20^\circ$. Угол $\angle BMC = 90^\circ$ (так как высота). ### Задание 2 Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них ($AO = OB$, $CO = OD$). а) $\triangle AOC = \triangle BOD$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): $AO = OB$, $CO = OD$ и $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). б) В $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ все стороны равны, значит $\angle OAC = \angle OBD$. Если $\angle ODB = 20^\circ$ и $\angle AOC = 115^\circ$, то $\angle OAC = \angle ODB = 20^\circ$ (из равенства треугольников). $\angle OAD = 180^\circ - 115^\circ - 20^\circ = 45^\circ$. ### Задание 3 Прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Дано: $\angle A = 30^\circ$, гипотенуза $AB = 16$ см, катет $AC = 9$ см. *Кажется, в условии опечатка, так как в прямоугольном треугольнике с углом $30^\circ$ катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы. Здесь $BC = 16 / 2 = 8$ см. Периметр равен $16 + 9 + 8 = 33$ см.* ### Задание 4 Прямые a и b параллельны ($a \parallel b$), секущая K. $\angle 1 = 54^\circ$, $\angle 2 = 126^\circ$. При параллельных прямых сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Если $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние односторонние, то $54^\circ + 126^\circ = 180^\circ$. Это доказывает, что прямые параллельны. ### Задание 5 Равнобедренный треугольник с периметром $P = 64$ см. Одна сторона $16$ см. Случай 1: Основание $16$. Боковые стороны: $(64 - 16) / 2 = 24$ см. Случай 2: Боковая сторона $16$. Основание: $64 - (16 + 16) = 32$ см. (Треугольник со сторонами 16, 16, 32 не существует, так как $16 + 16 = 32$). **Ответ:** Боковые стороны равны 24 см.