Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.

Решим задачи 2 и 3 из представленного текста. ### Задача 2 **Дано:** правильная четырёхугольная пирамида. Боковое ребро $l = 4$ см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$. **а) Найдите высоту пирамиды ($H$).** В правильной четырёхугольной пирамиде высота опускается в центр квадрата основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на основание (половиной диагонали квадрата). Пусть $d$ — диагональ основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна $0,5d$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и его проекцией: $H = l \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. Проекция бокового ребра (половина диагонали): $R = 4 \cdot \cos 45^\circ = 2\sqrt{2}$ см. Диагональ основания $d = 2R = 4\sqrt{2}$ см. Сторона основания $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ см. **б) Найдите площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).** Сначала найдём апофему ($k$) — высоту боковой грани. Из прямоугольного треугольника (апофема, половина стороны основания, боковое ребро): $k = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot k) = 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ:** а) $2\sqrt{2}$ см; б) $16\sqrt{3}$ см$^2$. ### Задача 3 **Дано:** правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. Сечение проходит через середину ребра $DA$ параллельно плоскости $DBC$. **Решение:** Сечение, проходящее через середину ребра $DA$ параллельно плоскости $DBC$, будет треугольником, вершины которого лежат на серединах рёбер $DB$, $DC$ и точкой сечения на $DA$. По теореме о средней линии треугольника (или подобии треугольников), стороны этого сечения будут равны половине длины ребра тетраэдра: $a/2$. Так как исходный тетраэдр правильный, сечение также является правильным треугольником со стороной $a' = a/2$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$. Подставим нашу сторону $a/2$: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (a/2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}$. **Ответ:** $\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.