№1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

№1. Периметр правильного шестиугольника $P = 48$ см. Сторона такого шестиугольника $a_6 = P / 6 = 48 / 6 = 8$ см. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне: $R = a_6 = 8$ см. Для квадрата, вписанного в ту же окружность, диагональ $d$ равна диаметру окружности: $d = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см. Сторона квадрата $a_4$ связана с диагональю формулой $d = a_4\sqrt{2}$, значит $a_4 = d / \sqrt{2} = 16 / \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см. Ответ: $8\sqrt{2}$ см. №2. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2$. $72\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2$. Разделим обе части на $\sqrt{3}$ и умножим на $\frac{2}{3}$: $R^2 = 72 \cdot \frac{2}{3} = 48$. $R = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ дм. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3}$ дм. Ответ: $8\pi\sqrt{3}$ дм. №3. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле $S = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \alpha$. Подставим значения $R = 12$ см, $\alpha = 120^\circ$: $S = \frac{\pi \cdot 12^2}{360^\circ} \cdot 120^\circ = \frac{\pi \cdot 144}{3} = 48\pi$ см$^2$. Ответ: $48\pi$ см$^2$.