1. В окружности с центром O проведены диаметр AC и радиус OB так, что хорда BC равна радиусу. Найдите $\angle AOB$, если $\angle BCO = 60^\circ$.

Привет! Давай разберем задачи из твоей контрольной работы. ### Задача 1 Так как $AC$ — диаметр, а $BC$ — хорда, равная радиусу ($OB=OC=BC=R$), то треугольник $BOC$ равносторонний. Углы в нем равны $60^\circ$. Угол $\angle AOB$ и $\angle BOC$ — смежные, поэтому: $\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. **Ответ: 120^\circ**. ### Задача 2 Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной $a$ формулой: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. $8 = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a\sqrt{3} = 48 \Rightarrow a = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}$ (см). **Ответ: 16\sqrt{3}$ см**. ### Задача 4 Диагональ квадрата $d$ является диаметром описанной окружности. Сторона $a = 8$ см. $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ (см). Радиус $R = \frac{d}{2} = 4\sqrt{2}$ (см). **Ответ: 4\sqrt{2}$ см**. ### Задача 5 Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности $R$ связан со стороной $a$ формулой: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. $6 = \frac{a\sqrt{3}}{3} \Rightarrow a\sqrt{3} = 18 \Rightarrow a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ (см). **Ответ: 6\sqrt{3}$ см**.