1024 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведенные из вершин B и C, соответственно равны hb и hc; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведенная из вершины B, равна h.

### Решение задачи № 1024 Пусть $S$ — искомая площадь треугольника $ABC$, $AC = b$, $AB = c$. **а) Дано:** $\angle A = \alpha$, высоты $h_b$ и $h_c$, проведенные из вершин $B$ и $C$ соответственно. 1. Высота $h_c$ опускается на сторону $AB$, поэтому из прямоугольного треугольника (образованного высотой $h_c$, углом $A$ и стороной $AC$): $h_c = b \cdot \sin \alpha \implies b = \frac{h_c}{\sin \alpha}$. 2. Аналогично, из прямоугольного треугольника с высотой $h_b$: $h_b = c \cdot \sin \alpha \implies c = \frac{h_b}{\sin \alpha}$. 3. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} bc \sin \alpha$. 4. Подставим выражения для $b$ и $c$: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{h_c}{\sin \alpha} \cdot \frac{h_b}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \frac{h_b h_c}{2 \sin \alpha}$. **Ответ:** $\frac{h_b h_c}{2 \sin \alpha}$. **б) Дано:** $\angle A = \alpha, \angle B = \beta$, высота из вершины $B$ равна $h$. 1. Обозначим $h_b = h$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h_b$ и стороной $AB$ ($c$): $h = c \cdot \sin A = c \cdot \sin \alpha \implies c = \frac{h}{\sin \alpha}$. 2. В треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, значит $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. 3. По теореме синусов: $\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. Отсюда $a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{h}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}$. 4. Площадь $S = \frac{1}{2} c a \sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sin \alpha} \cdot \frac{h}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \sin \beta = \frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}$. **Ответ:** $\frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}$.