587. Решите систему уравнений: а) {9x² + 9у² = 13, {3ху = 2;

Решение системы уравнений: а) $\begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13 \\ 3xy = 2 \end{cases}$ Умножим второе уравнение на 2: $6xy = 4$. Сложим с первым и вычтем из первого: $9x^2 + 9y^2 + 6xy = 17 \Rightarrow (3x+y)^2 = 17$ (неудобно). Лучше: $9x^2+9y^2=13$ и $xy=2/3$. Тогда $9x^2+9y^2=13$ и $9xy=6$. $(3x+3y)^2 = 13+12 = 25 \Rightarrow 3x+3y = \pm 5$. $(3x-3y)^2 = 13-12 = 1 \Rightarrow 3x-3y = \pm 1$. Системы: 1) $3x+3y=5, 3x-3y=1 \Rightarrow 6x=6, x=1, y=2/3$. 2) $3x+3y=5, 3x-3y=-1 \Rightarrow 6x=4, x=2/3, y=1$. 3) $3x+3y=-5, 3x-3y=1 \Rightarrow 6x=-4, x=-2/3, y=-1$. 4) $3x+3y=-5, 3x-3y=-1 \Rightarrow 6x=-6, x=-1, y=-2/3$. Ответ: $(1; 2/3), (2/3; 1), (-2/3; -1), (-1; -2/3)$. б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ y^2 - 4x^2 = 9 \end{cases}$ Вычтем из первого второе: $x^2 - (-4x^2) = 29 - 9 \Rightarrow 5x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Если $x^2=4$, то $4+y^2=29 \Rightarrow y^2=25 \Rightarrow y = \pm 5$. Ответ: $(2; 5), (2; -5), (-2; 5), (-2; -5)$. в) $\begin{cases} 2x^2 + xy = 6 \\ 3x^2 + xy - x = 6 \end{cases}$ Вычтем первое из второго: $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1)=0$. 1) $x=0 \Rightarrow 0=6$ (ложно). 2) $x=1 \Rightarrow 2(1)^2 + 1\cdot y = 6 \Rightarrow 2+y=6 \Rightarrow y=4$. Ответ: $(1; 4)$. г) $\begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 + y = 5 \end{cases}$ Из второго: $x^2 = y^2 - y + 5$. Подставим в первое: $3(y^2 - y + 5) - 2y^2 = 25 \Rightarrow 3y^2 - 3y + 15 - 2y^2 = 25 \Rightarrow y^2 - 3y - 10 = 0$. Корни: $y_1 = 5, y_2 = -2$. 1) $y=5: x^2 = 25 - 5 + 5 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$. 2) $y=-2: x^2 = 4 - (-2) + 5 = 11 \Rightarrow x = \pm \sqrt{11}$. Ответ: $(5; 5), (-5; 5), (\sqrt{11}; -2), (-\sqrt{11}; -2)$.