1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована трапеция. Найдите площадь трапеции.

Давай разберем задачи по очереди: 1. **Площадь трапеции** Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. По рисунку: верхнее основание $a = 2$, нижнее основание $b = 4$, высота $h = 3$. $S = \frac{2+4}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$. **Ответ: 9** 2. **Косинус угла A** В прямоугольном треугольнике ABC катет $AC = 4$ (прилежащий к углу A), катет $BC = 3$ (противолежащий), гипотенуза $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$. Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0,8$. **Ответ: 0,8** 3. **Периметр параллелограмма ABCD** Биссектриса $AK$ отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник $ABK$ ($AB=BK$). По условию $AK$ делит $BC$ на отрезки $BK = 6$ и $KC = 5$. Значит, сторона $BC = 6 + 5 = 11$. Так как $AB = BK = 6$, то стороны параллелограмма равны 6 и 11. Периметр $P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (6 + 11) = 2 \cdot 17 = 34$. **Ответ: 34** 4. **Угол ACB** Дуги пропорциональны числам 3, 5, 10. Обозначим дуги как $3x, 5x, 10x$. Сумма дуг окружности $360^\circ$. $3x + 5x + 10x = 360 \Rightarrow 18x = 360 \Rightarrow x = 20$. Дуга $AB = 10x = 10 \cdot 20 = 200^\circ$, дуга $BC = 5x = 100^\circ$, дуга $AC = 3x = 60^\circ$. Угол $ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$ (не содержащую точку $C$). Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Угол $ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 200^\circ = 100^\circ$. **Ответ: 100** 5. **Сторона и площадь ромба** Диагонали $d_1 = 48$, $d_2 = 14$. Сторона ромба $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336$. **Ответ: сторона 25, площадь 336** 6. **Отрезок MC** Так как $AB \parallel DC$, то $\triangle ABM \sim \triangle DCM$ по двум углам (накрест лежащие углы). Коэффициент подобия $k = \frac{DC}{AB} = \frac{65}{13} = 5$. Отношение сторон $MC/AM = DC/AB = 5$, значит $MC = 5 \cdot AM$. Так как $AC = AM + MC = 42$, подставим $AM = MC/5$: $MC/5 + MC = 42 \Rightarrow 1,2 \cdot MC = 42 \Rightarrow MC = 42 / 1,2 = 35$. **Ответ: 35**