8 класс. Геометрия. Вариант 2. КР по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники»

Привет! Давай разберем задачи из твоей контрольной по геометрии. ### Задача 1 По условию, $ME$ — диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Если предположить, что $M, P, E$ — это точки, образующие треугольник $MPE$, где $M, P, E$ лежат на окружности, то $\angle MPE = 90^\circ$ (так как опирается на диаметр $ME$). Так как сумма углов треугольника $180^\circ$, то: $ \angle E = 180^\circ - 90^\circ - 49^\circ = 41^\circ $ **Ответ:** $\angle E = 41^\circ$, $\angle P = 90^\circ$. ### Задача 2 У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Если известен угол $B = 58^\circ$ (судя по рис. 1), то противоположный ему угол $D$: $ \angle D = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ $ **Ответ:** $122^\circ$. ### Задача 3 В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$ $8 + 17 = 13 + AD$ $25 = 13 + AD$ $AD = 25 - 13 = 12$ **Ответ:** $12$. ### Задача 4 $AB$ и $AC$ — отрезки касательных из одной точки, значит, они равны: $AB = AC = 12$ см. Пусть $O$ — центр окружности. Отрезок $OA$ — гипотенуза в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом к точке касания ($r=5$) и отрезком $AB=12$: $OA^2 = AB^2 + r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $OA = \sqrt{169} = 13$ см. **Ответ:** $OA = 13$ см, $AC = 12$ см. ### Задача 5 В окружности радиуса $R=16$ см: Сторона $AB$ стягивает центральный угол $2\angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Треугольник $AOB$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, значит, он равносторонний. $AB = R = 16$ см. Сторона $BC$ стягивает центральный угол $2\angle OCB = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. Треугольник $BOC$ — прямоугольный равнобедренный. $BC = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \approx 22,6$ см. **Ответ:** $AB = 16$ см, $BC = 16\sqrt{2}$ см.