1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2\sqrt{3}, а боковое ребро равно 4. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

### Решение задачи 1 Пусть $S$ — вершина правильной треугольной пирамиды $SABC$, $O$ — центр основания $ABC$. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол $\angle SAO$. 1. В правильном треугольнике $ABC$ сторона $a = 2\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности $R = OA$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$. 2. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($SO$ — высота): $SA = 4$ (гипотенуза), $OA = 2$ (катет). 3. $\cos(\angle SAO) = \frac{OA}{SA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. 4. Значит, $\angle SAO = 60^\circ$. **Ответ: 60** ### Решение задачи 2 Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, $M$ — середина стороны основания $BC$. Угол между боковой гранью $SBC$ и основанием $ABC$ — это линейный угол $\angle SMO$ (где $O$ — центр основания, $OM$ — радиус вписанной окружности основания). 1. В правильном треугольнике со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r = OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Апофема $SM = 2\sqrt{13}$, боковое ребро $SB = 13$. 2. Из прямоугольного треугольника $SBM$: $BM = \sqrt{SB^2 - SM^2} = \sqrt{13^2 - (2\sqrt{13})^2} = \sqrt{169 - 52} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$. 3. Так как $M$ — середина $BC$, то сторона основания $a = 2 \cdot BM = 6\sqrt{13}$. 4. Тогда $OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{39}$. 5. В прямоугольном треугольнике $SOM$: $\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{\sqrt{39}}{2\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 6. Значит, $\angle SMO = 30^\circ$. **Ответ: 30** ### Решение задачи 3 Пусть $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, $SO$ — высота. $O$ — центр квадрата $ABCD$. 1. Сторона основания $a = 14$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$. 2. $AO = \frac{d}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$. 3. Высота $SO = 7\sqrt{2}$. 4. Из прямоугольного треугольника $SOA$ боковое ребро $SA$ есть гипотенуза: $SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{(7\sqrt{2})^2 + (7\sqrt{2})^2} = \sqrt{98 + 98} = \sqrt{196} = 14$. **Ответ: 14**