В базе данных есть несколько статей, каждая содержит не более 80 страниц. Руководитель поручает двум редакторам проверить все статьи, распределив их между собой (каждую статью целиком одному редактору). Оказалось, что при любом распределении хотя бы одному редактору достанется не более 60 страниц. Найдите максимальное общее количество страниц во всех статьях.

Пусть всего $N$ статей, а их объемы в страницах — $s_1, s_2, …, s_N$, где каждый $s_i ≤ 80$. Пусть $S$ — общая сумма страниц ($S = ∑ s_i$). Предположим, что редакторы распределили статьи так, что у одного редактора сумма страниц $S_1$, а у другого $S_2 = S - S_1$. По условию, при любом распределении $min(S_1, S_2) ≤ 60$. Это значит, что не может существовать распределения, при котором оба редактора получают более 60 страниц. Рассмотрим максимальное возможное общее количество страниц $S$. Чтобы условие «хотя бы одному достается не более 60» выполнялось при *любом* разбиении, мы должны подобрать такие статьи, чтобы нельзя было найти подмножество статей, сумма которых $S_1$ удовлетворяет условию $60 < S_1 < S - 60$. Пусть $S - 60 ≤ 60$, что дает $S ≤ 120$. Если $S ≤ 120$, то при любом разбиении $S_1 + S_2 = S ≤ 120$, значит, хотя бы один из них точно не больше 60. Если мы возьмем две статьи по 70 страниц ($s_1=70, s_2=70$), их общая сумма 140. Тогда распределение (70, 70) дает минимум 70, что больше 60. Нам это не подходит. Пусть общая сумма $S$. Мы хотим найти максимально возможное $S$, чтобы для любого разбиения на $S_1$ и $S_2$ выполнялось $\min(S_1, S_2) ≤ 60$. Рассмотрим случай, когда у нас есть статьи. Если есть статья объемом $s_i > 60$, то ее нельзя добавить к «маленькой куче» (которая ≤ 60), не нарушив условие. Значит, статьи должны быть достаточно большими. Пусть у нас есть две статьи по 70 страниц. Тогда их сумма 140. Если мы их разделим (70 и 70), то $\min(70, 70) = 70 > 60$. Не подходит. Пусть у нас есть статьи: три статьи по 40 страниц. $S=120$. Разбиения: (40, 80) → min 40; (80, 40) → min 40; (40, 40, 40) → (40, 80) или (80, 40). Всегда $≤ 60$. А если добавить еще одну статью? Максимальное $S$ достигается при наборе статей 70, 50. $S=120$. Разбиение (70, 50) дает $\min(70, 50)=50 ≤ 60$. Есть ли что-то больше? Если $S=130$, например, статьи 70, 60. Разбиение (70, 60) → $\min=60 ≤ 60$. Если добавить еще, например, 70, 60, 50? (70+60, 50)=130, 50 (min 50); (70, 60+50)=70, 110 (min 70 > 60). Не подходит. Максимальное число страниц равно 130 (статьи 70 и 60). Ответ: 130.