1. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 9 и CD = 14. Найдите четвертую сторону четырёхугольника.

1. В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противоположных сторон равны. Пусть стороны — AB, BC, CD и AD. $AB + CD = BC + AD$ $8 + 14 = 9 + AD$ $22 = 9 + AD$ $AD = 22 - 9 = 13$ Ответ: 13. 2. У вписанного в окружность четырёхугольника суммы противоположных углов равны $180^\circ$. Пусть углы равны $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Даны два угла: $82^\circ$ и $58^\circ$. Если это противоположные углы, то их сумма должна быть $180^\circ$, но $82+58 = 140 \neq 180$. Значит, это соседние углы. Пусть $\angle A = 82^\circ$ и $\angle B = 58^\circ$. Тогда противоположные углы: $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$ $\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$ Наибольший угол из оставшихся — $122^\circ$. Ответ: 122. 3. Свойство описанного четырёхугольника: суммы длин противоположных сторон равны. $AD + BC = AB + CD$ $15 + 11 = AB + CD$ $26 = AB + CD$ Периметр $P = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (AD + BC) = 26 + 26 = 52$. Ответ: 52. 4. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу $AD$, значит $\angle ACD = \angle ABD$. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$, значит $\angle CBD = \angle CAD = 35^\circ$. По условию, $\angle ABC = 105^\circ$. $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 105^\circ - 35^\circ = 70^\circ$. Ответ: 70. 5. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{P}{2} - b$ (где $b$ — сумма боковых сторон). Но проще через периметр: для описанной трапеции $AD + BC = AB + CD$. Периметр $P = AD + BC + AB + CD = (AD + BC) + (AD + BC) = 2(AD + BC) = 40$. $AD + BC = 20$. Средняя линия $m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{20}{2} = 10$. Ответ: 10.