Итоговая контрольная работа по алгебре 7 класс вар 1

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по алгебре. Вот решения: ### 1. Представьте выражение в виде степени с основанием 2: а) $\frac{2^{10}}{2^5 \cdot 2^3} = \frac{2^{10}}{2^{5+3}} = \frac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2$ б) $(2^3)^4 \cdot 2 = 2^{3 \cdot 4} \cdot 2^1 = 2^{12} \cdot 2^1 = 2^{12+1} = 2^{13}$ ### 2. Упростите выражение: $a(a - 2) - (a - 3)^2 = a^2 - 2a - (a^2 - 6a + 9) = a^2 - 2a - a^2 + 6a - 9 = 4a - 9$ ### 3. Разложите на множители многочлен: а) $4x^2y - 4yz^2 = 4y(x^2 - z^2) = 4y(x - z)(x + z)$ б) $2a(a + 2) + (a^2 - 4) = 2a(a + 2) + (a - 2)(a + 2) = (a + 2)(2a + a - 2) = (a + 2)(3a - 2)$ ### 4. Решите задачу: Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. | | Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | | :--- | :--- | :--- | :--- | | По озеру | $x$ | 2 | $2x$ | | По теч.реки | $x+2$ | 3 | $3(x+2)$ | Составим уравнение по общему расстоянию: $2x + 3(x + 2) = 81$ $2x + 3x + 6 = 81$ $5x = 75$ $x = 15$ Ответ: собственная скорость катера 15 км/ч. ### 5. По графику движения: На оси $t$ находим значение 2. Поднимаемся вертикально вверх до пересечения с графиком и смотрим значение на оси $s$. Видим, что при $t=2$ значение $s=50$. Ответ: 50 км. ### 6. Решите уравнение: $(x - 2)(x - 3) - x(x + 4) + 7 = x + 5$ $x^2 - 3x - 2x + 6 - x^2 - 4x + 7 = x + 5$ $-9x + 13 = x + 5$ $-10x = -8$ $x = 0,8$ ### 7. Разложите на множители многочлен: $x + y - x^3y - x^4 = (x - x^4) + (y - x^3y) = x(1 - x^3) + y(1 - x^3) = (1 - x^3)(x + y) = (1 - x)(1 + x + x^2)(x + y)$ ### 8. Постройте график: График состоит из двух частей: 1. Горизонтальная прямая $y=1$ для всех $x \le 1$. 2. Прямая $y=x$ для всех $x > 1$ (начинается с точки $(1; 1)$, но точка «выколота»).