15. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C=21° и AK=CK.

Привет! Давай решим эти геометрические задачи. **15. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C=21° и AK=CK.** 1. Так как $AK=CK$, треугольник $AKC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Значит, углы при основании равны: $\angle KAC = \angle KCA = 21^\circ$. 2. Сумма углов треугольника $AKC = 180^\circ$. Найдем $\angle AKC$: $\angle AKC = 180^\circ - 21^\circ - 21^\circ = 138^\circ$. 3. Угол $\angle AKC$ является внешним углом для треугольника $AKB$ (или можно найти $\angle AKB$ как смежный с $\angle AKC$): $\angle AKB = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. 4. $AK$ — биссектриса, значит $\angle BAK = \angle KAC = 21^\circ$. 5. В треугольнике $ABK$ сумма углов $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - \angle BAK - \angle AKB = 180^\circ - 21^\circ - 42^\circ = 117^\circ$. **Ответ: 117°** **16. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 74°. Найдите угол AOD.** 1. Рассмотрим треугольник $OBC$. Он равнобедренный, так как $OB=OC$ (радиусы). 2. Значит, углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = 74^\circ$. 3. $\angle BOC = 180^\circ - 74^\circ - 74^\circ = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$. 4. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, значит, они равны: $\angle AOD = \angle BOC = 32^\circ$. **Ответ: 32°** **17. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 11 и 14. Найдите длину основания BC.** 1. Пусть высота $CH$ опускается на $AD$. Тогда $AH=11$ и $HD=14$ (или наоборот, в зависимости от выбора стороны, но в равнобедренной трапеции результат один). 2. Для равнобедренной трапеции отрезок $AH = (AD - BC) / 2$ (меньший отрезок), а $HD = (AD + BC) / 2$ (больший отрезок). 3. Разность этих отрезков равна длине основания $BC$: $HD - AH = 14 - 11 = 3$. 4. Основание $BC = 3$. **Ответ: 3** **18. На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?** 1. Посчитаем радиус малого круга по клеткам: диаметр 2 клетки, значит радиус $r = 1$. 2. Посчитаем радиус большого круга: диаметр 4 клетки, значит радиус $R = 2$. 3. Формула площади круга $S = \pi r^2$. 4. Отношение площадей: $\frac{S_{большого}}{S_{меньшего}} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{2^2}{1^2} = 4$. **Ответ: 4** **19. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?** 1) «Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов» — **Истинно** (сумма углов 180°, если все углы > 60°, то сумма > 180°). 2) «Средняя линия трапеции равна сумме оснований» — **Ложно** (средняя линия равна полусумме оснований). 3) «Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания» — **Истинно**. **Ответ: 1, 3**