1 [1 балл] Вычислить длину дуги окружности радиусом 18 см, соответствующей центральному углу в 150°.

### Решение задач: **Задача 1** Длина дуги $L$ вычисляется по формуле $L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$, где $r = 18$ см, $\alpha = 150^\circ$. $L = \frac{\pi \cdot 18 \cdot 150}{180} = \pi \cdot 18 \cdot \frac{5}{6} = 15\pi$. **Ответ:** 15$π$. **Задача 2** Дано: $S_{сект} = 16\pi$, $R = 8$. 1. Длина дуги: $S_{сект} = \frac{1}{2}LR \Rightarrow 16\pi = \frac{1}{2} \cdot L \cdot 8 \Rightarrow 16\pi = 4L \Rightarrow L = 4\pi$. 2. Длина хорды: $\frac{L}{2\pi R} = \frac{\alpha}{360^\circ} \Rightarrow \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{1}{4} = 90^\circ$. Хорда стягивает дугу $90^\circ$. Длина хорды $c = 2R \sin(\frac{90^\circ}{2}) = 16 \sin(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$. 3. Площадь сегмента: $S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = 16\pi - \frac{1}{2}R^2 \sin(90^\circ) = 16\pi - 32$. **Задача 3** Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, $R = 4\sqrt{3}$. 1. Радиус вписанной окружности $r = \frac{R}{2} = 2\sqrt{3}$ (пункт F). 2. Периметр треугольника: сторона $a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$. Периметр $P = 3a = 36$ (пункт B). 3. Площадь треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ (пункт G). 4. Сторона квадрата, вписанного в эту окружность ($R=4\sqrt{3}$): $a_{кв} = R\sqrt{2} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{6}$ (пункт C). **Ответ:** 1-F, 2-B, 3-G, 4-C. **Задача 4** 1. Правильный треугольник, описанный около окружности: $r = 36$. Тогда $a = 2\sqrt{3}r = 72\sqrt{3}$. $P = 3a = 216\sqrt{3}$. $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(72\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{5184 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 3888\sqrt{3}$. 2. Правильный шестиугольник, описанный около окружности: $r = 36$. Тогда $a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3}$. $P = 6a = 144\sqrt{3}$. $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1728 = 2592\sqrt{3}$.