7. Через концы диаметра AB окружности с центром O, проведены параллельные прямые, пересекающие окружность в точках M и K. Докажите, что MK — диаметр окружности.

Дано: окружность с центром $O$, $AB$ — её диаметр. Через точки $A$ и $B$ проведены параллельные прямые $a$ и $b$, которые пересекают окружность в точках $M$ и $K$ соответственно. Доказательство: 1. Так как $AB$ — диаметр, то $O$ — середина $AB$. 2. Проведенные прямые параллельны ($AM \parallel BK$ по условию). Рассмотрим четырехугольник $AMKB$. Поскольку $AM \parallel BK$ и они пересекают окружность, можно рассмотреть центральную симметрию относительно точки $O$. 3. Так как $O$ — центр окружности, то каждая точка окружности имеет симметричную ей точку относительно $O$. Точка $A$ переходит в точку $B$ (так как $AB$ — диаметр). 4. Прямая $AM$ проходит через $A$, а прямая $BK$ проходит через $B$. Так как $AM \parallel BK$, то при центральной симметрии относительно $O$ прямая $AM$ переходит в прямую $BK$ (и наоборот), так как они обе перпендикулярны диаметрам или просто параллельны и равноудалены от центра. 5. Окружность симметрична относительно своего центра $O$. Точка $M$ лежит на окружности. При симметрии относительно $O$ точка $M$ перейдет в точку $K$, лежащую на окружности, так как $MK$ — хорда, проходящая через центр $O$ (или доказывается через равенство треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle BOK$, где $AO=OB$ — радиусы, $\angle MAO = \angle KBO$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AM, BK$ и секущей $AB$, $\angle AOM = \angle BOK$ как вертикальные). 6. Из равенства треугольников следует, что $MO=OK$. Значит, точка $O$ является серединой отрезка $MK$. 7. Так как $MK$ — хорда, проходящая через центр окружности $O$, то $MK$ — диаметр. Что и требовалось доказать.